Метод подведения под знак дифференциала (устная замена переменной)

Интегральное исчисление

1.1 Первообразная, неопределенный интеграл

Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на множестве X, если для всех .

Выражение F(x)+C представляет собой семейство всех первообразных функции f(x). (C=const).

Определение. Если F(x) – одна из первообразных функции f(x), то выражение F(x)+C называется неопределенным интегралом.

Обозначается .

Простейшие свойства.

1)

2)

3)

4)

Таблица основных интегралов

1) .	10) .
2) .	11) .
3) .	12) .
4) .	13) .
5) .	14) .
6) .	15) .
7) .	16) .
8) .	17) .
9) .

 

В частности:

; ; .

Из определения и свойств неопределенного интеграла следует, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными действиями: производная правой части в каждой формуле равна подынтегральной функции. Проверим, например, формулу 2.

Примеры:

1) ;

2) .

Методы интегрирования

Метод подведения под знак дифференциала (устная замена переменной)

Если относительно данной переменной интеграл не является табличным, то в некоторых случаях его можно привести к табличному относительно новой переменной с помощью подведения под знак дифференциала нужной функции.

При этом удобно пользоваться следующими формулами, которые получаются из формул дифференцирования при прочтении их в обратном порядке:

…
, n ≠-1

Примеры (см. задание 1а)

1) ;

2)

3)

Метод письменной замены переменной (подстановки)

План

1. Вводим новую переменную (подстановку)

2. Дифференцируем подстановку.

3. Вводим новую переменную в подынтегральное выражение.

4. Вычисляем интеграл.

5. Возвращаемся к старой переменной.

Примеры (см. задание 1а):

1)

.

2)

.

3) .

Метод интегрирования по частям

Этот метод применяют для интегралов вида:

а) , , ;

б) , , , , ;

в) , ;

где - многочлен.

Формула интегрирования по частям имеет вид:

.

1) Для интегралов типа а) принимают U =P(x), все остальное равно dV.

2) Для интегралов типа б) принимают dV =P(x)dx.

3) для интегралов типа в) за U принимают любую функцию, метод применяют дважды.

Примеры (см. задание 1б):

1) ;

2)

;

3)

.

4) можно решение записать иначе:

Получили первоначальный интеграл, обозначим его за y

;

;

+С.

Определенный интеграл

Задача о площади.

Вычислим площадь плоской фигуры, ограниченной графиком непрерывной, неотрицательной функции y=f(x), прямыми x=a, x=b, отрезком [ a,b ]. Такая фигура называется криволинейной трапецией.

1) Разобьем отрезок [ a, b ] произвольным образом на n частей точками . Получим n маленьких отрезков с длинами ; .

2) Через точки деления проведем вертикальные прямые. Трапеция разобьется на n трапеций. На каждом из элементарных отрезков выберем произвольным образом по точке .

Найдем значения функции в этих точках

.

Примем эти ординаты за высоты прямоугольников.

3) Посчитаем, что площади маленьких криволинейных трапеций приближенно равны площадям прямоугольников с основаниями и высотами . Тогда

.

Чем мельче отрезки деления, тем точнее это равенство. За точное значение площади трапеции примем предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур при неограниченном увеличении числа отрезков деления и стремлении к нулю наибольшей из длин этих отрезков.

.

Понятие определенного интеграла

К нахождению предела, рассмотренного в предыдущем пункте, приводит

ряд задач естествознания. Поэтому рассмотрим предел, отвлекаясь от конкретного смысла задачи.

Пусть на [ a, b ] задана произвольная функция y=f(x). Применяя для нее схему предыдущей задачи, составим сумму произведений вида

.

Такая сумма называется интегральной суммой функции f(x) на [ a, b ]. Она

зависит от способа деления [ a, b ] на элементарные части и от выбора точек

на каждой из этих частей.

Определение. Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий от способа деления [ a, b ] и выбора точек , то этот предел (число) называется определенным интегралом от функции f(x) на [ a, b ] и обозначается

_____________________________

Возвращаясь к задаче о площади криволинейной трапеции, получаем

т.е. при определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Теорема. Для любой непрерывной на [ a,b ] функции существует определенный интеграл.

 

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть f(x) – непрерывна на [ a, b ], F(x) – первообразная функции f(x) на [ a,b ], тогда определенный интеграл равен приращению первообразной (т.е. неопределенного интеграла) на этом отрезке:

Примеры

1) ;

2)

Интегрирование по частям

(см. интегрирование по частям в разделе "Неопределенный интеграл")

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид

Пример.

Основные понятия

1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные:

.

2. Наивысший порядок производной искомой функции, входящей в ДУ, называется порядком ДУ.

3. Решить ДУ – это значит найти все функции, которые ему удовлетворяют, т. е. при подстановке их в уравнение, оно обращается в тождество.

4. Нахождение решений ДУ называется интегрированием ДУ, график решения ДУ называется интегральной кривой.

Однородные функции

Функция f(x,y) называется однородной k -ой степени однородности, если выполняется равенство:

.

В частности, если

– функция однородная нулевой степени однородности.

Примеры

1) .

– однородная функция второй степени однородности.

2) .

– однородная функция нулевой степени однородности.

Коэффициентами

Это уравнения вида

,

(1)

где – константы.

Общее решение такого уравнения имеет вид

где – произвольные постоянные

-общее решение однородного уравнения,

-линейно независимые частные решения уравнения (1).

Определение. Функции и называются линейно независимыми (зависимыми) на (a, b), если при

Решение уравнения (1) сводится к решению алгебраического уравнения

,

(2)

называемого характеристическим, в котором степень k равна порядку производной в уравнении (1).

При этом возможны следующие случаи:

1. При уравнение (2) имеет действительные различные корни , тогда частные решения ДУ (1) имеют вид , (в чем можно убедится непосредственной подстановкой).

Они линейно независимы (смотри определение). Тогда общее решение (1) имеет вид:

2. При характеристическое уравнение (2) имеет два действительных равных корня , тогда частными решениями Д.У. (1) являются функции , общее решение (1) имеет вид

3. Если , то характеристическое уравнение (2) не имеет действительных корней, но имеет комплексные корни вида .

Тогда частные решения

Общее решение (1) имеет вид

Примеры (см. задание 5):

1) , составим характеристическое уравнение:

; ; .

2) , составим характеристическое уравнение

;

;

.

3)

4)

Ряды

Ряд, сходимость, сумма.

Пусть дана последовательность чисел

Числовым рядом называется выражение

. (1)

Сумма первых членов называется частичной суммой.

Частичные суммы образуют в свою очередь последовательность , которая для одних рядов сходится, для других – расходится.

Ряд (1) называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм .

S называется суммой ряда. Если этот предел не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.

Расходящиеся ряды суммы не имеют.

Знакопеременные ряды

Это ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены. Частным случаем таких рядов являются знакочередующиеся ряды: ряды, в которых за каждым положительным членом следует отрицательный и за каждым отрицательным членом следует положительный:

или

.

Признак Лейбница.

Если в знакочередующемся ряде

1) абсолютные величины членов ряда убывают ;

2) ,

то знакочередующийся ряд сходится и его сумма не превосходит модуля первого члена.

Следствие. Пусть знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница. Если сумму этого ряда заменить суммой n первых членов, то погрешность, допускаемая при этом не превосходит модуля первого отброшенного члена.

Рассмотрим знакочередующийся ряд и ряд, составленный из абсолютных его величин. Если ряд, составленный из абсолютных величин, сходится, то знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся рядом. Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин, расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся.

Пример. Исследовать на условную и абсолютную сходимость ряд.

Это знакочередующийся ряд. Применим признак Лейбница.

1) ;

2) . => ряд сходится по признаку Лейбница.

Исследуем ряд на условную и абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда.

– это обобщенный гармонический ряд, он сходится, так как k =3>1, тогда знакочередующийся ряд является абсолютно сходящимся рядом.

Степенные ряды

Степенным рядом называется ряд вида:

,

где – постоянные величины, коэффициенты ряда, число a – центр ряда.

При a =0 имеем

(1)

При степенной ряд (1) принимает вид

(2)

Это уже числовой ряд. он может сходиться или расходиться.

Если ряд (2) сходится, то – точка сходимости степенного ряда (1). Если ряд (2) расходится, то – точка расходимости. Совокупность точек сходимости называется областью сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля. Для любого степенного ряда (1) существует интервал , внутри которого ряд сходится абсолютно, вне его расходится, а на границах может иметь различный характер сходимости.

– радиус интервала сходимости.

– интервал сходимости.

Если R =0, то точка x =0 – единственная точка сходимости.

Если R =¥, то ряд сходится на всей числовой оси.

Пример.

1) Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала.

.

Тогда (-5; 5) – интервал, внутри которого ряд сходится абсолютно. Исследуем характер сходимости ряда на границах.

1) x =–5, тогда степенной ряд примет вид

.

Это знакочередующийся ряд. Для него применим признак Лейбница:

1)

– не выполнено первое условие признака Лейбница, тогда ряд

расходится, точка – точка расходимости.

2) x =5; – ряд расходится по следствию из необходимого признака, тогда x =5 – точка расходимости.

(-5; 5) – область сходимости данного степенного ряда.

2)

.

– интервал сходимости данного степенного ряда. Исследуем на границах:

1) , тогда степенной ряд примет вид:

– это знакочередующийся ряд. Проверим два условия:

1) ;

2) , тогда ряд сходится по признаку Лейбница, точка – есть точка сходимости первоначального степенного ряда, она входит в область сходимости.

2) . Сравним этот ряд с гармоническим , который, как известно, расходится.

– конечное число, тогда по следствию из признака сравнения ряды ведут себя одинаково, т. е. оба расходятся, поэтому точка – точка расходимости начального степенного ряда.

– область сходимости степенного ряда.

Теория вероятностей

Вероятность события

Вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всевозможных элементарных исходов испытания, т. е. , где m – число элементарных исходов, при которых наступает событие А (благоприятствующие исходы), n – число всех возможных исходов данного испытания. Это классическое определение вероятности события.

1) Пусть U – достоверное событие, тогда любой исход испытания благоприятен наступлению U, т. е. m=n, тогда

P (U)=1.

2) V – невозможное событие, тогда ни один исход испытания не будет благоприятствующим, т. е. m= 0, тогда

P (V)=0.

3) А – случайное событие, 0< m < n, тогда , т. е.

0< P (A)<1.

Пример. Монету бросаем два раза. Определить вероятность того, что герб появится не менее одного раза.

Пусть А – событие, состоящее в появлении герба не менее одного раза. Элементарные исходы такие ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ, всего четыре исхода, из них благоприятствующих появлению события А – три, тогда .

Элементы комбинаторики

1. Пусть имеем три элемента a, b, c. Образуем из них комбинации (выборки) по два элемента: ab, ba, ac, ca, bc, cb – их шесть штук. Они отличаются друг от друга или элементами, или порядком следования элементов. Такие выборки называются размещениями, обозначаются .

.

2. Выборки, отличающиеся друг от друга только порядком расположения элементов, называются перестановками, обозначаются .

3. Выборки, отличающиеся одна от другой хотя бы одним элементом, называются сочетаниями, обозначаются .

,

или

.

Следует помнить, что .

Пример. Среди 20 студентов группы, в которой 6 девушек, разыгрываются пять билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся две девушки.

Решение.

5 билетов среди 20 человек можно распределить способами. 3 билета среди 14 юношей можно распределить способами, 2 билета среди 6 девушек можно распределить способами. Каждая пара девушек может сочетаться с любой тройкой юношей, т. е. число благоприятных исходов , а число всех возможных исходов . Тогда

.

Основные теоремы.

Теоремы сложения

1. Вероятность наступления хотя бы одного из несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P (A+B) =P (A) +P (B).

2. Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

P (A+B) =P (A) +P (B)– P (AB).

Теоремы умножения

Определения.

1) События называются независимыми, если вероятность наступления одного события не зависит от того, произошло другое событие или не произошло.

2) События называются зависимыми, если вероятность наступления одного из них зависит от того, произошло другое или нет.

3) Вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В уже произошло, называется условной вероятностью, обозначается (читается: «Р от А при условии, что В произошло»).

Теорема 1. Вероятность совместного наступления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже произошло.

или

.

Теорема 2. Вероятность совместного наступления независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

.

Задача. Из колоды в 36 карт наудачу одну за другой вынимают две карты. найти вероятность того, что будут вынуты два валета.

Пусть А – событие, состоящее в том, что первая карта – валет;

В – событие, состоящее в том, что вторая карта – валет;

С – событие, состоящее в том, что вынуты два валета.

Тогда . События А и В – зависимые, тогда .

Полная группа событий

Если сумма событий есть достоверное событие (т. е., в результате испытания хотя бы одно из них непременно произойдет), то события образуют полную группу событий. Если эти события попарно несовместны, то образуют полную группу попарно несовместных событий.

Теорема. Если образуют полную группу попарно несовместных событий, то сумма вероятностей этих событий равна 1. .

Определение. Два единственно возможных события, образующих полную группу, называются противоположными.

Или: противоположным событию А называется событие , состоящее в ненаступлении А (читается «не А»).

Теорема. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1: .

Если , то p+q= 1.

Вероятность наступления хотя бы одного события

Теорема. Пусть А – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий . – независимые в совокупности события. Тогда .

Задача. Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение часа выйдет из строя, равна 0,015, для второго и третьего станков эти вероятности равны 0,02 и 0,025. Найти вероятность того, что в течение часа хотя бы один станок выйдет из строя.

Пусть – событие, состоящее в том, что первый станок в течении часа выйдет из строя;

– второй;

– третий;

А – событие, состоящее в том, что хотя бы один из станков выйдет из строя.

;

;

.

Тогда .

Формула полной вероятности

Пусть событие А может произойти только с одним из событий , которые образуют полную группу попарно несовместных событий. События называются гипотезами. Пусть известны вероятности гипотез и условные вероятности события А по гипотезам, т. е. , тогда

.

Задача. С первого автомата на сборку поступает 20%, со второго – 30%, с третьего – 50% всех деталей. Первый автомат дает в среднем 0,2% брака, второй – 0,3%, третий – 0,1%. Найти вероятность того, что наудачу взятая со сборки деталь будет бракованная.

Пусть – событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь изготовлена на первом автомате, – на втором, – на третьем. А – событие, состоящее в том, что наудачу взятая со сборки деталь будет бракованная.

, ,

Формула Бейеса

Пусть выполнены все условия предыдущей теоремы. Но пусть уже известно, что событие А – произошло. Тогда вероятность гипотезы после опыта определяется по формуле:

.

P (A) находим по формуле полной вероятности.

Задача. Два автомата производят одинаковые детали, которые собираются на общий конвейер. Производительность первого автомата в два раза больше второго. Первый производит в среднем 60% деталей отличного качества, второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что она изготовлена вторым автоматом.

– событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь изготовлена первым автоматом, – вторым. А – событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь отличного качества.

Тогда ;

Формула Бернулли

Пусть произведено n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью P (A)= p, причем . Последовательность появления события А не имеет значения. Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступает ровно m раз вычисляется по формуле:

,

где – число сочетаний из n элементов по m (см. выше).

Задача. Орудие стреляет по цели пять раз. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что орудие попадает два раза.

.

Случайные величины

Случайной величиной называют такую величину, которая в результате испытания принимает одно и только одно из возможных своих значений, заранее неизвестное и зависящее от случайных обстоятельств, которые не всегда можно учесть. Обозначается X, Y, Z, …, возможные ее значения обозначаются .

Случайные величины бывают дискретные и непрерывные. Дискретная случайная величина принимает отдельные изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом или рядом распределения.

Пример. Бросаем игральную кость. Случайная величина X – число выпавших очков, ее возможные значения 1, 2, 3, 4, 5, 6. Любое из этих значений появляется с вероятностью . Тогда:

X
P

– ряд распределения случайной величины.

Так как в каждом испытании случайная величина обязательно примет одно из возможных своих значений, то события образуют полную группу попарно несовместных событий, а поэтому .

Пример (см. ­задание 8). Составить закон распределения числа отказавших элементов прибора, если элементов три, а вероятность отказа каждого, независимо работающего элемента равна 0,2.

Пусть случайная величина X – число отказавших элементов, ее возможные значения:

,

,

,

,

.

Тогда закон распределения этой случайной величины принимает вид:

X
P	0,512	0,384	0,096	0,008

Контроль:

Числовые характеристики

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений возможных значений случайной величины на вероятности этих возможных значений. Обозначается:

.

Математическое ожидание – это число, центр распределения случайной величины, – ее возможные значения расположены на оси левее и правее математического ожидания.

Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от своего математического ожидания.

.

Можно доказать, что

.

Этой формулой удобно пользоваться в расчетах. Дисперсия характеризует меру рассеяния возможных значений случайной величины относительно ее математического ожидания.

Средним квадратическим отклонением называется .

Пример. (см. задание 8). Дан ряд распределения случайной величины. Найти