Свойства определенного интеграла

1) Определенный интеграл с симметричными пределами равен нулю:

2) При перемене местами пределов интегрирования величина определенного интеграла меняется на противоположную величину:

3) Если отрезок интегрирования разделен на конечное число частичных отрезков, то определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a,b] равен сумме определенных интегралов от этой функции на каждом из частичных отрезков:

a c k b

4) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

.

5) Интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций, т.е.

6) Если подынтегральная функция в интервале интегрирования не меняет знака, то интеграл представляет собой число того же знака, что и функция. В частности, если f(x)≥0 в интервале [a,b], где а<b, то и . Это свойство называют свойством монотонности определенного интеграла.

 

7). Если одна из функций, интегрируемых на отрезке [a,b] (причем, а<b), больше другой во всех точках данного отрезка, то определенный интеграл от первой функции соответственно больше определенного интеграла второй функции, то есть, если , то .

8). Определенный интеграл от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a,b] равен произведению величины этого отрезка на значение данной функции в некоторой точке с, находящейся внутри этого отрезка:

, где f(с) называется средним значением функции на интервале [a,b].

Методы интегрирования

1) Метод непосредственного интегрирования.

Пример:

Пример:

 

2) Метод замены переменной.

Пример: │ , где 1 + t = k, а dt=dk.

При замене переменной меняются и пределы интегрирования, которые следует находить из соотношения замены 1+t=k, где вместо t подставляем старые пределы интегрирования, а k дает значение новых пределов.

Пример:

 

3) Метод интегрирования по частям: │ .

Пример:

Пример:

 

Применение определенного интеграла.

1). Вычисление площадей плоских фигур

 

Пример: Вычислить площадь фигуры АВСD.

Решение:

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и .

Решение: Найдем точки пересечения кривых, для этого приравняем у1 и у2: . Данное тождество верно при х=0 и х=1. Тогда площадь фигуры, ограниченной кривыми и будет равна:

.

 

2) Вычисление объема тел вращения.

 

Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная кривой у=f(x), осью ОХ и прямыми х=а и х=b. Вращая эту фигуру вокруг оси ОХ, получим тело вращения. Для вычисления объема тела вращения применяется формула:

 

, где S = π y² - площадь сечения, а S∙∆x= π y²Δ x - объем выделенного кусочка.

Пример: Вычислить объем тела, образуемого вращением вокруг оси ОХ трапеции, ограниченной линиями у=х/2+4, у=0, х=0, х=6.

 

Решение:

куб.единиц.

 

 

3) Определение поверхности тела вращения.

 

Пусть есть конус с осью симметрии z и образующей, составляющей угол α с осью z. Разобьем поверхность конуса на небольшие участки, проведя плоскости перпендикулярно оси z. Тогда площадь выделенного участка будет равна

S_i = 2πr∙ dl, но , а , следовательно

 

.

 

Понятие двойного интеграла.

 

Понятие определенного интеграла может быть обобщено в различных направлениях. До сих пор областью интегрирования простого определенного интеграла был отрезок числовой прямой. Если за область интегрирования взять некоторую плоскую площадку, то получится двойной интеграл, если часть поверхности – то поверхностный интеграл, если отрезок некоторой кривой линии – то криволинейный интеграл.

Рассмотрим общий вид двойного интеграла: .

При нахождении двойных интегралов используются те же приемы, которые были рассмотрены ранее.

Пример: .

Пример: Найти площадь поверхности конуса высотой H, представленного на рисунке. Решение:

Площадь поверхности такого конуса можно найти как сумму элементарных площадок ds, на которые разбивается вся его поверхность. Площадь ds рассчитывается как произведение длины элементарной площадки на ее высоту. Длина площадки ds равна произведению радиуса сечения конуса (r) на элементарный угол (dφ), где радиус сечения является катетом прямоугольного треугольника и определяется через другой его катет z и противолежащий угол α по формуле: . Высота площадки ds равна , так как она расположена под углом α к оси z. Тогда вся поверхность конуса:

 

.

Пример: Найти интеграл по поверхности конуса:

,

так как .