Проверка правильности нахождения неопределенного интеграла.

Проверка правильности нахождения неопределенного интеграла основана на его первом свойстве, в соответствии с которым производная найденного неопределенного интеграла должна быть равна подынтегральной функции.

Иными словами, для проверки результата интегрирования достаточно найти производную этого результата, и лишь в случае ее совпадения с подынтегральной функцией исходного интеграла, а также при наличии в результате интегрирования произвольной постоянной можно сделать вывод о том, что интеграл найден верно.

Раздел 6. Определенный интеграл.

 

Понятие определенного интеграла.

Понятие определенного интеграла используют в ряде практических задач, в частности в задачах по вычислению площадей плоских фигур, расчету работы, производимой переменной силой, количества вещества, образовавшегося в результате химической реакции.

То есть, если нам надо знать не зависимость протекания какого-либо процесса во времени и пространстве, а его результат (например, количество вещества, образовавшегося в результате химической реакции), то мы приходим к понятию определенного интеграла.

Пусть задана функция y = f (t) скорость протекания химической реакции в зависимости от времени.

Тогда общее количество препарата можно найти, если разделить все время наблюдения за реакцией на очень маленькие отрезки, а затем умножить среднюю скорость реакции на каждом отрезке на его длину и просуммировать по всем отрезкам, то есть получим: , где - средняя точка на отрезке.

Полученное выражение имеет название интегральной суммы на отрезке .

Интегральная сумма – это сумма по всем n-отрезкам, на которые разбит рассматриваемый интервал, произведений среднего значения функции на каждом частичном интервале на длину соответствующего интервала.

 

Предельное значение этой суммы при стремлении к нулю частичного интервала записывается через определенный интеграл функции f(x):

.

Определение: Определенным интегралом называется предел, к которому стремиться интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала.

 

Геометрическая и физическая интерпретация определенного интеграла.

Определение: Плоская фигура, ограниченная сверху графиком непрерывной функции y=f(x), снизу – осью абсцисс, слева – прямой линией х=а, а справа – прямой линией х=в, называется криволинейной трапецией.

Очевидно, что площадь данной криволинейной трапеции равна сумме площадей составляющих ее криволинейных трапеций и численно равна определенному интегралу от функции y=f(x) на отрезке [a,b].

Таким образом, геометрический смысл определенного интеграла - это площадь криволинейной трапеции.

Физический смысл определенного интеграла:

 

1) это работа, совершенная переменной силой при перемещении тела из точки а в точку в.

;

2) с помощью определенного интеграла можно также найти путь, пройденный телом за промежуток времени при его неравномерном движении по прямой, если известна зависимость его скорости движения от времени v(t):

.

 

Формула Ньютона-Лейбница.

Непосредственное вычисление интеграла как предела соответствующих интегральных сумм затруднительно, да и не требуется, поскольку для этой цели можно воспользоваться формулой Ньютона–Лейбница. Согласно которой, значение определенного интеграла равно разности значений его первообразных, взятых на верхнем и нижнем пределах интегрирования:

, где F(x) – первообразная функция f(x).

Несобственный интеграл.

 

Интеграл с бесконечными пределами называется несобственным и находится как:

 

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует, то расходящимся.

 

Аналогично определяются несобственные интегралы и для прочих бесконечных интервалов

(-∞,b] и (-∞,∞).

 

Несобственный интеграл можно интерпретировать как площадь бесконечной криволинейной трапеции.

 

Пример: