Элементарные функции. Свойства функций.

 

К основным элементарным функциям относятся:

1. Степенная функция: , где a – действительное число.

2. Показательная функция: , где а – положительное число не равное единице.

3. Логарифмическая функция: , где а – основание логарифма – положительное число, не равное единице.

4. Тригонометрические функции: , , , .

5. Обратные тригонометрические функции: , , , .

Кроме основных элементарных функций к элементарным относятся функции, полученные из последних путем конечного числа операций сложения, вычитания, умножения и деления функции на функцию, а также взятия функции от функции (или сложные функции): .

Вспомним область определения и графики основных элементарных функций:

Степенная функция. .

а) а – целое положительное число. Область определения (-∞, ∞).

Примерный вид функции на рис.2 и рис.3.

Рис.2. Рис.3.

б) а – целое отрицательное число. Функция определена для всех х за исключением т. х =0. Примерный вид функции показан на рис.4 и рис.5.

Рис.4. Рис.5.

Приведем также примеры степенных функций при дробно-рациональных значениях а (рис. 6,7,8).

Рис.6. Рис.7. Рис.8.

Показательная функция: ; а >0 и а ≠ 1.

Она определена при всех значениях х. Пример функции показан на рис.9.

Рис.9.

Логарифмическая функция: ; а >0 и а ≠1.

Область определения функции (0, ∞). График функции показан на рис.10.

Рис.10.

Тригонометрические функции.

Графики этих функций показаны на рис. 11, 12, 13, 14.

Рис.11. Рис.12.

Рис. 13. Рис.14.

Функции и определены для всех х. Функция определена везде, кроме точек , (k=0; ±1; ±2…). Функция также определена везде, кроме точек , (k=0; ±1; ±2…).

Исходя из графиков, мы видим, что функции бывают периодические и непериодические.

Определение: Функция , называется периодической, если существует такое постоянное число Т, при прибавлении или вычитании которого от аргумента значение функции не изменятся, т.е.

, .

Наименьшее такое число Т называется периодом функции.

Все тригонометрические функции – периодические. Непосредственно из определения следует, что функции , – периодические с периодом . Функции и имеют период .

 

Функции бывают возрастающие и убывающие.

Определение: Функция называется возрастающей в интервале, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции, то есть при ∆Х>0 приращение функции ∆У>0.

Функция называется убывающей в интервале, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует меньшее значение функции, то есть при ∆Х>0 приращение функции ∆У<0.

 

Некоторые свойства графиков функций.

 

Рассмотрим основные принципы построения графиков функции вида:

.

Если к аргументу функции прибавляется (вычитается) произвольное положительное число С, то происходит смещение графика функции вдоль оси абсцисс на С единиц влево (вправо) по отношению к исходному графику.

Если аргумент функции умножается (делится) на постоянное положительное число А (А>1), то график этой функции сжимается (растягивается) по оси абсцисс в А раз по сравнению с исходным графиком.

Если аргумент функции умножается (делится) на постоянное отрицательное число А, большее единицы, то график этой функции сжимается (растягивается) по оси абсцисс в А раз по сравнению с исходным графиком и зеркально отображается относительно оси ординат.

Если к функции прибавляется (отнимается) какое-либо положительное число А, то график этой функции перемещается по оси ординат на А единиц вверх (вниз).

Если функция умножается на произвольное число А, большее единицы, то график этой функции вытягивается по оси ординат в А раз, если число А положительно, и кроме этого зеркально отображается относительно оси абсцисс, если число А отрицательно.

Пример 1. Построить графики функции: .

Решение:

Построим сначала график функции , а затем сместим его по оси абсцисс на три единицы вправо и получим график функции .

Пример 2. Построить графики функции: .

Решение:

Построим сначала график функции , а затем сожмем его по оси абсцисс в 2 раза.

Предел функции.

 

Функции могут иметь предел. Что же нужно понимать под пределом функции?

Определение: Функция у=f(x) имеет предел А при х→а, если при приближении х к а значение функции как угодно близко подходит к А, то есть .

Для первого графика, изображенного на рисунке, , а для второго .

 

Можно дать более строгое определение предела функции: пусть функция определена в некоторой области, включающей точку а. Говорят, что стремится к пределу А (y®А) при х стремящемся к а (x®a), если для любого сколь угодно малого, наперед заданного числа e, можно указать такое положительное число d, что для всех х ¹ а и удовлетворяющих неравенству |x-a|<d имеет место неравенство |f(x)-А|<e.

Математическая запись предела функции: .