Основные теоремы о пределах функций.

1). Предел постоянной величины равен этой величине:

.

2). Предел суммы (разности) конечного числа функций равен соответствующей сумме (разности) пределов этих функций:

.

3). Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

.

4). Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что делитель не будет равен нулю:

, если только .

 

Некоторые важные пределы.

1).

2). , если х – длина дуги или угол, выраженный в радианах.

3).

Вычисление пределов.

Для вычисления пределов используют основные теоремы и правило Лопиталя (при возникновении «неопределенности» вида 0/0 или ∞∕∞), согласно которому предел частного двух функций равен пределу отношений производных этих функций: , при условии, что этот предел существует. Если после использования этого правила снова возникает неопределенность, то его применяют вторично.

Пример 1. Найти предел функции: .

Решение: .

Пример 2. Найти предел функции: .

Решение: .

 

Пример 3. Найти предел функции: .

Решение:

 

Пример 4. Найти предел функции: .

Решение: .

Пример 5. Найти предел функции: .

Решение:

 

Пример 6. Найти предел функции: .

Решение: При подстановке х=0 получаем неопределенность 0/0. Тогда по правилу Лопиталя: .

Пример 7. Найти предел функции: .

Решение: При подстановке х=2 получаем неопределенность 0/0, которую раскрываем по правилу Лопиталя:

.

Пример 8. Найти предел функции: .

Решение:

При подстановке х=∞ получаем неопределенность ∞∕∞, которую раскрываем по правилу Лопиталя: .

 

 

Непрерывность функции.

 

Большинство функций, изучаемых в математическом анализе, являются непрерывными, то есть при небольших изменениях аргумента х функция у меняется также мало, и график такой функции является непрерывной кривой. Однако, у некоторых функций при определенных значениях х непрерывность может нарушаться и график прерываться, тогда говорят, что функция в данных точках имеет разрыв. Значения аргумента, при которых происходит разрыв функции, называются точками разрыва.

Определение: Функция y=f(x) непрерывна в точке x_0, если в этой точке у нее существует предел .

Определение: Функция у=f(x) называется непрерывной в интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

 

Отметим, что, вычисляя предел функции f(х), мы можем приближать х к x₀ как справа, так и слева, то есть вычислять и .

Непрерывность функции в точке x₀ равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно слева и справа, то есть должны выполняться следующие четыре условия непрерывности:

1). Функция должна быть определена в некоторой окрестности точки x₀.

2). Должны существовать конечные пределы слева и справа:

, .

3). Эти пределы должны быть равны между собой и равны А:

= = А.

4). Эти пределы должны быть равны значению функции в точке x₀, то есть

А=f(x₀).

 

Если в точке x₀ не выполняется хотя бы одно условие, то в этой точке функция терпит разрыв, а сама эта точка называется точкой разрыва.

Если выполняются условия 1 и 2, но нарушены условия 3 и 4, то точку x₀ называют точкой разрыва первого рода.

Если хотя бы один из пределов слева или справа бесконечен или его вовсе нет, тогда говорят о разрыве второго рода.

Пример: тригонометрические функции sinx и cosx непрерывны повсюду, функция tg(x) имеет разрыв второго рода в точках , где k=0; ±1; ±2…., а функция ctg(x) имеет разрыв второго рода в точках , где k=0; ±1; ±2….

Раздел 2. Производная функции.

 

Понятие производной.

 

Определение: Пусть имеется функция . Тогда, производной функции у по переменной х называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю:

(*).

Следует заметить, что у некоторых функций может не существовать предел отношения приращения функции к приращению аргумента в каких-то точках, то есть в этих точках такие функции производной не имеют.

 

Функция, имеющая конечную производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Очевидно, что необходимым условием дифференцируемости функции является ее непрерывность.

Производная любой функции может быть найдена по формуле (*).

Например: . Тогда:

Однако, так находить производную функции слишком долго, поэтому была разработана таблица производных основных элементарных функций, которой обычно и пользуются.

Таблица производных элементарных функций, свойства производных.

№	Функция	Производная
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Нахождение производной сложной функции.

В этом случае необходимо применять следующие правила, получившие название «свойства производных»:

1. Производная алгебраической суммы дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций:

если , то .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

если , то .

3. Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую и производной второй функции на первую. Если заданы функции и , то .

4. Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой равен разности произведений производной числителя на знаменатель и производной знаменателя на числитель, а знаменатель равен квадрату знаменателя исходной дроби. Пусть функция представляет собой отношение двух дифференцируемых функций и :

если , то .

5. Производная сложной функции. Если функция u =j (x) имеет производную в точке x o, а функция y=f (u) имеет производную в соответствующей точке u о = j (x o), то сложная функция f [ j (x)] имеет производную в точке x o и справедлива следующая формула: . Таким образом, при нахождении производной сложной функции необходимо ввести промежуточный аргумент u= j (x), позволяющий свести данную функцию к виду основных элементарных функций f [ j (x)]=f(u), взять производную этой функции (в соответствии с таблицей производных), а затем умножить ее на производную от промежуточного аргумента.