Функциональный ряд. Ряд Тейлора.

Функциональный ряд - это ряд, слагаемыми которого являются функции.

Из функциональных рядов чаще всего используют степенные ряды (это ряды, слагаемыми в которых являются степенные функции) и тригонометрические ряды (это ряды, слагаемыми в которых являются функции sin и cos).

 

Рассмотрим степенной ряд вида: , где - являются коэффициентами степенного ряда.

Данный ряд будет сходиться, если , то есть для значений х, находящихся вблизи , или , где R – называется радиусом сходимости ряда. Радиус сходимости может быть определен по формуле . Для других значений х ряд может расходиться.

 

Рассмотрим свойства степенного ряда:

 

1) Сумма степенного ряда есть функция непрерывная в интервале сходимости ряда , где R – радиус сходимости ряда.

2) Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости.

3) Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале его сходимости (причем любое число раз).

 

Т.О. Сумма степенного ряда в интервале сходимости этого ряда является непрерывной и бесконечное число раз дифференцируемой функцией.

 

Возникает вопрос: если у нас есть функция f(x) – непрерывная и бесконечное число раз дифференцируемая, то можно ли ее представить в виде степенного ряда? И как при этом найти коэффициенты данного ряда?

Возьмем непрерывную и бесконечное число раз дифференцируемую функцию f(x) и представим ее в виде степенного ряда: Попробуем найти коэффициенты этого ряда:

при .

при

при

при

Тогда любой коэффициент данного ряда можно найти по формуле:

.

Делаем вывод: любую непрерывную и бесконечное число раз дифференцируемую функцию можно разложить в степенной ряд, который получил название ряда Тейлора и имеет вид:

(*)

Определение: Рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки x₀ называется степенной ряд (*) относительно разности (x-x₀), коэффициенты которого выражаются через функцию f(x) и ее производные в точке x₀ по формулам:

 

Но чаще всего на практике используется не ряд Тейлора, а ряд Маклорена, который является частным случаем ряда Тейлора.

Ряд Маклорена – это разложение функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x₀= 0, тогда он примет вид: .

 

Чтобы замена функции f(x) на ряд Тейлора была правомочна, необходимо, чтобы ряд сходился к нашей функции f(x).

Когда же ряд Тейлора сходится к f(x) -?

Условие сходимости ряда Тейлора к f(x).

Теорема. Если в некотором интервале, окружающем точку x₀, абсолютные величины всех производных функции f(x) ограничены одним и тем же числом, то ряд Тейлора в этом интервале сходится к функции f(x).

 

Т.О. Разложение заданной функции в ряд Тейлора в окрестности точки x₀ распадается на два этапа:

1) сначала находят производные функции f(x) в точке x₀ и составляют ряд Тейлора;

2) находят интервал, в котором ряд Тейлора сходится к функции f(x).

 

Применение ряда Тейлора:

 

1) для приближенных вычислений значений функции;

2) для интегрирования сложных функций;

3) для решения дифференциальных уравнений.

 

Пример 1. Разложить функцию в ряд Маклорена и найти интервал сходимости этого ряда.

 

Решение.

Ряд Маклорена имеет вид

, где .

Найдем коэффициенты этого ряда:

.....

Подставив коэффициенты в ряд Маклорена, получим:

Найдем интервал, в котором полученный ряд сходится к функции .

Так как на всей числовой прямой, следовательно, ряд Маклорена сходится к на всей числовой прямой.

 

Пример 2. Найти приближенное значение функции е.

Решение.

В предыдущем примере было получено разложение функции в ряд Маклорена: .

Используем данное разложение, присвоив переменной х значение 1.

Тогда получим:

Пример 3. Разложить функцию в ряд Маклорена и найти интервал сходимости этого ряда.

 

Решение.

Ряд Маклорена имеет вид , где .

Найдем коэффициенты этого ряда:

Подставив коэффициенты в ряд Маклорена, получим разложение функции в ряд:

Найдем интервал, в котором полученный ряд сходится к функции .

Так как на всей числовой прямой, следовательно, ряд Маклорена сходится к на всей числовой прямой.

 

Пример 4. Найти значение определенного интеграла , который не берется обычными методами.

 

Решение:

Возьмем данный интеграл путем разложения подынтегральной функции Sinx в ряд Маклорена.

Разделим каждое слагаемое на х и разложим данный интеграл на сумму интегралов, которые являются табличными. Найдем значение этих интегралов:

 

Пример 5. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки .

Решение.

Ряд Тейлора имеет вид , где . Найдем коэффициенты этого ряда:

 

Подставив коэффициенты в ряд Тейлора, получим

Область сходимости этого ряда можно найти по формуле , где R – радиус сходимости ряда. Данный ряд будет сходиться, если , то есть для значений х, находящихся вблизи , или .

Пример 6. Найти приближенное значение функции .

Решение:

Для этого разложим в ряд Маклорена функцию .

Ряд Маклорена имеет вид , где . Найдем производные этой функции:

Тогда коэффициенты данного ряда будут равны:

,

,

,

,

, ….

Подставив их значение в ряд получим:

Найдем значение логарифмической функции в точке 2

 

Ряд Фурье и интеграл Фурье

Если любую непрерывную в окрестности точки x₀ и бесконечное число раз дифференцируемую функцию можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x₀, то любую периодическую функцию f(x), заданную в интервале и имеющую интеграл в этом интервале можно представить в виде тригонометрического ряда или разложить в ряд Фурье:

, где

Разложение функции в ряд Фурье называют гармоническим анализом, а и - гармониками функции f(x). Величины и - амплитуды гармоник, а n- их частота.

Пример:

Необходимо разложить в ряд Фурье периодическую функцию у=х заданную на интервале 0<χ<2π (см. рисунок).

Запишем общий вид ряда Фурье и найдем его коэффициенты.

, где

,

,

.

Аналогично

,

и т.п. Тогда .

Результатом гармонического анализа является построение амплитудного спектра сложной функции.

Амплитудный спектр функции – это график зависимости амплитуды гармоник, составляющих данную функцию от их частоты.

Пример:

Построим амплитудный спектр периодической функции f(x), которая раскладывается в следующий ряд Фурье: .

График этой функции представлен на рисунке.

Амплитудный спектр данной функции будет иметь вид двух гармоник с частотами 1 и 2.

 

Следует отметить, что амплитудный спектр периодической функции всегда дискретный.

 

Гармонический анализ широко применяется при исследовании сложных функциональных кривых, получаемых в электрокардиографии, электроэнцефалографии и т.п.

 

Как анализировать непериодическую функцию?.

 

Фурье предложил рассматривать ее как периодическую на интервале , тогда ряд Фурье превращается в интеграл Фурье:

, где

A(w) и B(w) – амплитудные значения гармоник функции f(x), а w – их частота.

 

Знак интеграла показывает, что суммируются гармоники с плавно меняющейся амплитудой, поэтому амплитудный спектр непериодической функции всегда непрерывный.

Следует отметить, что любую непериодическую и интегрируемую на интервале функцию можно разложить в интеграл Фурье.