Полный дифференциал функции.

 

Определение: Полным дифференциалом функции нескольких переменных называется сумма всех ее частных дифференциалов:

.

Пример 1: Найти полный дифференциал функции .

Решение:

Поскольку частные производные этой функции равны:

То сразу можно записать частные дифференциалы этих функций:

, ,

 

Тогда полный дифференциал функции будет иметь вид:

.

Пример 2 Найти полный дифференциал функции

Решение:

Эта функция является сложной, т.е. можно представить как

, где

Находим частные производные:

 

Полный дифференциал:

 

Аналитический смысл полного дифференциала состоит в том, что полный дифференциал функции нескольких переменных представляет собой главную часть полного приращения этой функции, то есть имеет место приближенное равенство: ∆z≈dz.

Необходимо, однако помнить, что эти приближенные равенства справедливы лишь при малых дифференциалах dx и dy аргументов функции z=f(x,y).

 

Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях основано на использовании формулы ∆z≈dz.

Действительно, если в данной формуле приращение ∆z функции представить в виде , а полный дифференциал в виде , то получим:

≈ ,

откуда .

Полученную формулу можно использовать для приближенного нахождения «нового» значения функции двух переменных, которое она принимает при достаточно малых приращениях обоих ее аргументов.

 

Пример. Найти приближенное значение функции , при следующих значениях ее аргументов: 1,01, .

Решение.

Подставив частные производные функции, найденные ранее в формулу, получим:

.

 

При подстановке значений х=1, ∆х=0,01, у=2, ∆у=0,02 получим:

 

 

Скалярное поле.

 

Если в каждой точке некоторой области пространства D задана функция U(p)=U(x,y,z), то говорят, что в области D задано скалярное поле.

Если, например, U(x,y,z) обозначает температуру в точке М(х,у,z), то говорят, что задано скалярное поле температур. Если область D заполнена жидкостью или газом и U(x,y,z) обозначает давление, то имеется скалярное поле давлений. Если в пространстве задано расположение зарядов или массивных тел, то говорят о поле потенциала.

Скалярное поле называется стационарным, если функция U(x,y,z) не меняется со временем: U(х,у,z) ≠ f (t).

 

Любое стационарное поле характеризуется:

1) поверхностью уровня скалярного поля

2) скоростью изменения поля в заданном направлении.

Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция U(x,y,z) принимает постоянное значение, то есть U(x,y,z) = const. Совокупность этих точек образует некоторую поверхность. Если возьмем другую константу, то получим другую поверхность.

Пример: Пусть задано скалярное поле . Примером такого поля является поле электрического потенциала точечного электрического заряда (+q). Здесь поверхностями уровня будут эквипотенциальные поверхности , то есть сферы, в центре которых находится заряд, создающий поле.

 

Направление наибольшего возрастания скалярной функции задается вектором, который называется градиентом и обозначается символом (или ).

Градиент функции находится через частные производные этой функции и всегда перпендикулярен поверхности уровня скалярного поля в данной точке:

, где

- единичные векторы соответственно по осям OX, OY, OZ

Производная от функции U(x,y,z) по любому другому направлению (λ) определяется по формуле:

, где

α, β, γ – это углы между осями координат соответственно OX, OY, OZ и направлением .

Производную функции по направлению можно найти и через другую формулу:

∙ , где единичный вектор по направлению .

Таким образом, производная функции по данному направлению равна скалярному произведению градиента функции на единичный вектор этого направления. В этом случае, производная по направлению вектора, касательного к поверхности уровня, равна нулю, а градиент в каждой точке перпендикулярен касательной плоскости к поверхности уровня, проходящего через данную точку.

Пример на нахождение градиента функции в данной точке.

Пусть дана функция .

Определим градиент в точке М(1,1,1).

Выражение градиента этой функции в произвольной точке будет:

.

Следовательно, , .