Свойство линейности неопределенного интеграла.

Если и , то , или

Если имеется постоянный множитель, то он выносится за занк интеграла.

4. Инвариантность неопределенного интеграла. Подведение под знак дифференциала.

Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид если вместо независимой переменной х подставить диффиренцируемую ф-цию (х), т.е,

Если , то

Интегрирование «по частям» в неопределенном интеграле.

Рассмотрим функции и , которые имеют непрерывные производные. Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство:

Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим:

Полученное равенство перепишем в виде:

Замена переменной в неопределенном интеграле.

Если в неопределенном интеграле сделать подстановку , где функция - функция с непрерывной первой производной, то тогда , то используя сво-во неопределнного интерграла имеем:

Виды простейших рациональных дробей. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби.

1)Если степень числителя больше степени знаменателя или равна, то в начле выдедяем целую часть, деля числитель на знаменатель.

2)Раскладываем знаменатель на множители.

3)Раскладываем подынтегральную ф-цию на простейшие дроби, с помощью неопределенных коэффицентов

(х-а)=

4)находим неопределенные коэфиценты, используя теорему алегебры:Если двамногочлена одинаковой степени тождественно равны, то равно коэффиценты при одинаковых степенях х.

 

8. Интегралы вида: такие же интегралы с синусом.

Интегралы такого вида решаются с помощью формул понижения степени

Если степень нечетная, то решается путем разложения ф-ции на множители:

Таким же образом и с cos(x). После разложения пользуемся формулами понижения степени.

 

sin^2 x	=	1 - cos 2x

cos^2 x	=	1 + cos 2x

 

 

9. Интегралы вида

sinα ∙ sinβ	=	cos(α - β) - cos(α + β)

 

sinα ∙ cosβ	=	sin(α - β) + sin(α + β)

 

cosα ∙ cosβ	=	cos(α - β) + cos(α + β)

Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических. Универсальная тригонометрическая подстановка.

 

Задача о площади криволинейной трапеции. Определение определенного интеграла.

Тут рисунок криволинейной трапеции.

1.a=X0<X1<X2<Xi-1<Xi<Xn Частичные отрезки

2.ψ1, ψ2, ψi, ψn

3.К каждой из точек ψ nox восстановим перпендикуляр

f(ψ1),f(ψ2),f(ψi),f(ψn)

4.На каждом частичном основании построим прямоугольник, высота которого равно f(ψi) Получим ступенчатую фигуру.

5.Найдем ее площадь X1-X0=ΔX1 X2-X1=ΔX2 Xi-Xi-1=ΔXi Xn-Xn-1=ΔXn

Sступ фиг= f(ψ1) ΔX1+ f(ψ2) ΔX2+f(ψi) ΔXi+ f(ψn) ΔXn=

6.За истинное значение значения пролощади криволинейной трапеции примем предел к которому стремится записанная сумма, при условии что длины всех частичных отрезков стремят к нулю.
λ =max ΔXi

 

Задача о работе. Определение определенного интеграла.

1.a=X0<X1<X2<Xi-1<Xi<b=Xn частичные отрезки

2. f(ψ1),f(ψ2),f(ψi),f(ψn)

3.Считаем, что на каждом частичном отрезке A=const,ввиду малости длины отрезка и непрерывности функции F

4.Т.к. работа постоянной силы равна произведению величины этой силы на длину перемещения найдем приблизительно А, как суммы всех А

А=f(ψ1) ΔX1+ f(ψ2) ΔX2+f(ψi) ΔXi+ f(ψn) ΔXn=

5.За истинное значение примем предел суммы при λ 0

6.А=

Определенный интеграл-это предел последовательности интегральных сумм при условии что длиы всех частичных отрезков стремятся к нулю, и если этот предел существует, и не зависит ни от способа дробления отрезка на частичные, и от выбора точек ψi

Теорема существования определенного интеграла.

Если ф-ция F(x) непрерывна на отрезке, то определенный интеграл на отрезке ланной ф-ции существует, т.е. существует предел последовательности интегральных сумм и он не зависит ни от способа дробления отрезка, ни от выбора точек ψi

Свойства определенного интеграла.

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

Интеграл суммы/разности равен сумме интегралов суммы/разности

Производная интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютоно - Лейбница.

Ф-ция f(x) непрерывна. x ∈ [a;b]

-это ф-ция верхнего предела

Если f(x) непрерывна на [a;b], то производная интеграла с переменным верхним пределом равна подынтегральной ф-ции, вычисленной при значении верхнего предела. x+ x∈[a;b]

1.Фиксируем x Ф(x)=

2. x+ Ф(x+ x)=

3. -Ф(x)= =

4.

5.

формула Ньютона-Лейбница