Тема 12. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале Х, если в каждой точке этого интервала выполняется условие

F ` (x)=f(x).

Например, для функции f(x) = 2х первообразной является F(х) = х² для любых х Є (-∞, ∞).

Действительно, F`(x) = 2x = f(x).

F₁(x) = x² + 2 так же является первообразной для f(x) = 2x, F₂(x) = x² – 100 первообразная той же функции f(x) = 2x.

Теорема. Если F₁(x) и F₂(x) первообразные для функции f(x) на некотором интервале Х, то найдется такое число С, что справедливо равенство:

F₂(x) = F₁(x) + C,

Или можно сказать так, две первообразные для одной и той же функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на интервале Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается f(x)dx, где - знак интеграла, f(x) – подинтегральная функция, f(x)dx – подинтегральное выражение. Таким образом

f(x)dx = F(x) + C,

F(x) – некоторая первообразная для f(x), С – произвольная постоянная. Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1. ( (f(x)dx)` = f(x). Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению. d( f(x)dx) = f(x)dx.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

d(F(x)) = F(x) + C.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

, где к - число

5. Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций

(f(x) +φ(x))dx = f(x)dx + φ(x)dx.

Для вычисления неопределенных интегралов от функций используют таблицу неопределенных интегралов, которая приводиться ниже.

Таблица неопределенных интегралов.

1. х^α dx = [x^α+1 / (α +1)] +C, α ≠ -1, α Є R

2. dx/x = ln│x│+C

3. a^x = (a^x/ln a)+C, e^xdx = e^x+C

4. sinx dx = -cosx + C

5. cosx dx = sinx + C

6. dx/(cosx)² = tgx + C

7. dx/(sinx)² = -ctgx + C

8. dx / ²-x²) = (arcsin x/a) + C

9. dx / ² – x²) = (-arccos x/a) +C

10. dx / a² +x² = 1/a arctg x/a +C

11. dx / a² +x² = - 1/a arcctg x/a +C

12. dx / a² -x² = 1/2a ln │x+a/x-a│ +C

13. dx / a² +x²) = ln │x+ ²+x²)│ +C.

Пример 1. Вычислить (2х² -3 -1)dx.

Решение. Воспользуемся свойствами 4 и 5 неопределенных интегралов и первой табличной формулой. (2х² -3 -1)dx = 2 х² dx - 3 х^1/2 dx - dx=

= 2(x²/2) – 3[(х^3/2 *2)/3] – x + C = x² - 2 ³ – x +C.

Пример 2. (2/ -1/х + 4sinx)dx = 2х ^–1/2dx – ln │х│ - 4cosx + C =

= 2[(x^1/2 *2)/1] – ln │x│ - 4 cosx +C = 4 -ln│x│- 4cosx + C.

Для вычисления неопределенных интегралов применяют следующие методы: метод непосредственного интегрирования, метод подстановки(метод замены переменной), метод интегрирования по частям.

Существуют элементарные функции первообразные которых элементарными функциями не являются. По этой причине соответствующие неопределенные интегралы называются «неберущимися» в элементарных функциях, а сами функции не интегрируемыми в элементарных функциях.

Например, e ^{–x^2} dx, sinх² dx, cosх² dx, sinx/x dx, cosx/x dx, dx/lnx – «неберущиеся» интегралы, т.е. не существует такой элементарной функции, что F `(x) = e <sup>–x^2</sup>, F ` (x) = sinx² и т.д.

Тема 13. Определенный интеграл, его свойства.

Формула Ньютона - Лейбница.

Понятие интегральной суммы.

Пусть на отрезке [a, в] задана функция у = f(x). Разобьем отрезок на п элементарных отрезков точками деления а = х₀, х₁, х₂, …, х_п = в. На каждом элементарном отрезке [x_i-1, x_i] выберем произвольную точку С_i и положим

n

∆х_i = x_i – x_i-1, где i = 1,2,…,п, в каждой точке С_i найдем значение функции f(C_i), составим произведения f(C₁)∆x₁, f(C₂)∆x₂, …, f(C_i)∆x_i, …, f(C_n)∆x_n, рассмотрим сумму этих произведений:

I=1

f(C₁)∆x₁ + f(C₂)∆x₂ + … + f(C_i)∆x_i + … + f(C_n)∆x_n = Σ f(C_i)∆x_i.

Эту сумму будем называть интегральной суммой для функции у=f(x) на отрезке [а, в]. Интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [a, в] на п частей так и от выбора точек С₁, С₂, …, С_п на каждом элементарном отрезке разбиения.

Геометрический смысл интегральной суммы.

Пусть у = f(x) неотрицательна на отрезке [а, в]. Рис.1

y = f(x)

у

 

 

S₁ S₂ S₃

 

 

0 а=х₀ в₁ х₁ с₂ х₂ с₃ х₃ =в х

Рис.1

Пусть п=3, тогда а = х₀, х₁, х₂, х₃=в.

С₁,С₂,С₃ точки, выбранные произвольно на каждом элементарном отрезке.

S₁ = f₁(C₁) ∆x₁ – площадь прямоугольника, построенного на первом отрезке разбиения, ∆х₁ = х₁-х₀,

S₂ = f₂(C₂) ∆x₂ – площадь прямоугольника, построенного на втором отрезке разбиения. ∆х₂ = х₂-х₁,

S₃ = f₃(C₃) ∆x₃ – площадь прямоугольника, построенного на третьем отрезке разбиения. ∆х₃ = х₃-х₂,

I=1

S = S₁ + S₂ +S₃ = f₁ (C₁)∆x₁ + f₂ (C₂)∆x₂ + f₃ (C₃)∆x₃ = Σ f(C_i)∆x_i.

Это площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников.