Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Тема 11. Производная и дифференциал.↑ Стр 1 из 3Следующая ⇒ Содержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
МАТЕМАТИКА
Тема 11. Производная и дифференциал. Тема 12. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов. Тема 13. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона – Лейбница. Тема 14. Несобственные интегралы. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы от разрывных функций. Тесты. Литература
Тема 11. Производная и дифференциал. Приращение аргумента, приращение функции.
у Рис.1
Δу
х0 х0 + Δх Производная функция у = f(х), в точке х0 определяется как предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, при стремлении Δх к нулю. f `(x0) = lim (Δf/Δx). Этот предел будет иметь конечное значение, если только и числитель стремиться к нулю (приращение функции Δf→0). Производная имеет смысл скорости изменения какого – либо показателя. Дифференциал определяется как главная линейная часть приращения функции. Дифференциал показывает, как изменялась бы величина, если бы скорость ее изменения была бы постоянной. Дифференциал для функции у=f(х) обозначается через dy или df. Вычисляется он по формуле dy=f `(x)dx, где f ` (x) – производная функция f(x), а dx – число равное приращению независимой переменной (аргумента) ∆х. Для вычисления производной выведены правила нахождения производной и таблицы производных элементарных функций. Функция, имеющая производную в точке х, называется дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке интервала, то она называется дифференцируемой в интервале. Правила дифференцирования функций. Пусть U(х) и V(х) дифференцируемы в точке х. 1. (U(x) + V(x))` = U`(x) + V`(x) 2. (U(x) * V(x))` = U`(x) * V`(x) + V`(x) * U`(x) 3. (C*U(x))` = CU`(x), C - const 4. (U(x) / V(x))` = [U`(x) * V(x) - V`(x) * U(x)]/ V2(x) Таблица производных. 1. C` = 0, C – const. 2. x` = 1 3. (xα)` = α xα – 1, α Є R 4. (ax)` = ax lnx, a>0, a≠1 5. (ln x)` = 1/x 6. (sin x)` = cos x 7. (cos x)` = - sin x 8. (tg x)` = 1/(cos x)2 9. (ctg x)` = - 1/(sin x)2 10. (arcsin x)` = 1/ 2) 11. (arccos x)` = - 1/ 2) 12. (arctg x)` = 1/(1 + x2) 13. (arcctg x)` = - [1/(1 + x2)] правила для нахождения дифференциала можно написать самим, умножив соответствующее правило взятия производной на dx. Например: d sinx = (sinx)`dx = cosx dx. Пример 1. Найти приращение функции f(x) = x2, если х = 1, ∆х = 0,1 Решение: f(х) = х2, f(х+∆х) = (х+∆х)2 Найдем приращение функции ∆f = f(x+∆x) – f(x) = (x+∆x)2 – x2 = x2+2x*∆x+∆x2 – x2 = 2x*∆x + ∆x2/ Подставим значения х=1 и ∆х= 0,1, получим ∆f = 2*1*0,1 + (0,1)2 = 0,2+0,01 = 0,21 Пример 2. Найти производную функции f(x) = x2, в произвольной точке х по определению производной, т.е. не используя таблицу производных.
Из первого примера ∆f = 2x*∆x+∆x2, подставим, получим
Пример 3. у = 1-х, Найти ∆у при х=2, ∆ = 0,1 Решение: у(х) = 1-х, у(х+∆х) = 1 – (х+∆х), ∆у = у (х+∆х) – у(х) = 1-х - ∆х – (1 – х) = 1-х - ∆х – 1 + х = - ∆х при х = 2, ∆х = 0,1 ∆у = -∆х = -0,1. Пример 4. Найти производную от функции у=3х4 – 2х2 + 1. Решение у` = 3*4х3 – 2*2х + 0 = 12х3 – 4х. Пример 5. Найти производную от функции у = x2 *℮х. Решение: у` = (x2)` *℮х + x2 *(℮х)` = 2x ℮х + x2 *℮х ln℮ ln ℮ = log℮℮ = 1. y` = 2x℮x + x2 * ℮x Пример 6. У = х/(х2+1). Найти у`. Решение у` = [1*(х2+1) – х*2х] / (х2+1)2 = [х2+1 – 2х2] / (x2 +1)2 = (1-x2) / (x2+1)2 Производные от сложных функций. Формула для нахождения производной от сложной функции такова: [f (φ(х))]` = fφ`(φ(x)) * φ`(x) Например: у = (1-х2)3; у`= 3(1 –х2)2 * (-2х) или у = sin2х; у` = 2sinx * cosx. Пример 7. Найти dy, если у = sin 3х Решение dy = у` * dx = (sin3x)` dx = (cos3x) * 3dx = 3 cos3x dx. Пример 8. Найти dy, если у = 2х^2/ Решение: dy = y` * dx = (2x^2)` * dx = 2x^2 ln2 * 2xdx
Производные высших порядков. Пусть мы нашли от функции у = f(х) ее производную у` = f `(х). Производная от этой производной и называется производной второго порядка от функции f(х) и обозначается у`` или f `` (х) или (d2y) / (dx2). Аналогично определяются и обозначаются: производная третьего порядка у``` = f ```(x) = (d3y) / (dx3). производная четвертого порядка уIV = f IV(x) = (d4y) / (dx4). производная n-oго порядка у(n) = f (n)(x) = (d n y) / (dxn). Пример: у = 5х4 – 3х3 + 2х – 2. Найти у``. Решение. Находим в начале первую производную: у` = 20х3 – 9х2 +2, потом вторую от первой производной: у`` = 60х2 – 18х. Пример. y=хsinx. Найти у```. Решение. y` = sinx + xcosx y`` = cosx + cosx – x sinx = 2cosx – x sinx y``` = -2sinx – sinx – x cosx = -3sinx – x cosx. Таблица неопределенных интегралов. 1. хα dx = [xα+1 / (α +1)] +C, α ≠ -1, α Є R 2. dx/x = ln│x│+C 3. ax = (ax/ln a)+C, exdx = ex+C 4. sinx dx = -cosx + C 5. cosx dx = sinx + C 6. dx/(cosx)2 = tgx + C 7. dx/(sinx)2 = -ctgx + C 8. dx / 2-x2) = (arcsin x/a) + C 9. dx / 2 – x2) = (-arccos x/a) +C 10. dx / a2 +x2 = 1/a arctg x/a +C 11. dx / a2 +x2 = - 1/a arcctg x/a +C 12. dx / a2 -x2 = 1/2a ln │x+a/x-a│ +C 13. dx / a2 +x2) = ln │x+ 2+x2)│ +C. Пример 1. Вычислить (2х2 -3 -1)dx. Решение. Воспользуемся свойствами 4 и 5 неопределенных интегралов и первой табличной формулой. (2х2 -3 -1)dx = 2 х2 dx - 3 х1/2 dx - dx= = 2(x2/2) – 3[(х3/2 *2)/3] – x + C = x2 - 2 3 – x +C. Пример 2. (2/ -1/х + 4sinx)dx = 2х –1/2dx – ln │х│ - 4cosx + C = = 2[(x1/2 *2)/1] – ln │x│ - 4 cosx +C = 4 -ln│x│- 4cosx + C. Для вычисления неопределенных интегралов применяют следующие методы: метод непосредственного интегрирования, метод подстановки(метод замены переменной), метод интегрирования по частям. Существуют элементарные функции первообразные которых элементарными функциями не являются. По этой причине соответствующие неопределенные интегралы называются «неберущимися» в элементарных функциях, а сами функции не интегрируемыми в элементарных функциях. Например, e –x^2 dx, sinх2 dx, cosх2 dx, sinx/x dx, cosx/x dx, dx/lnx – «неберущиеся» интегралы, т.е. не существует такой элементарной функции, что F `(x) = e –x^2, F ` (x) = sinx2 и т.д. Формула Ньютона - Лейбница. Понятие интегральной суммы. Пусть на отрезке [a, в] задана функция у = f(x). Разобьем отрезок на п элементарных отрезков точками деления а = х0, х1, х2, …, хп = в. На каждом элементарном отрезке [xi-1, xi] выберем произвольную точку Сi и положим
Эту сумму будем называть интегральной суммой для функции у=f(x) на отрезке [а, в]. Интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [a, в] на п частей так и от выбора точек С1, С2, …, Сп на каждом элементарном отрезке разбиения. Тесты к тема 2 1. Аксиома – составная часть дедуктивной системы. Это …? 1: Определение основных понятий данной науки. 2: Утверждение, требующее доказательства. 3: Утверждение, принимаемое без доказательств. 4: Некоторое логическое рассуждение. 2. Внутри дедуктивной системы не могут быть решены два вопроса. Какие из представленных? 1: Нужны ли доказательства аксиом? и Являются ли теоремы составной частью дедуктивного метода? 2: О смысле основных понятий. и Об истинности аксиом. 3:Можно ли определить в данной науке основные понятия? и Являюся ли доказательства составной частью дедуктивного метода? 3. Что представляет собой книга «Начала» Евклида? 1: Философское учение греческого философа и ученого Евклида. 2: Аксиоматическое построение геометрии. 3: Мифы Древней Греции. 4: Учение о параллельных прямых. 4 Кто из математиков почти одновременно с Н.И. Лобачевским подошел к созданию неевклидовой геометрии? 1: Гаусс, Бойяй 2: Лагранж, Ферма 3: Пуассон, Эйлер 4: Коши, Буняковский 5. В каком году был построен Императорский Казанский Университет? 1; 1804 2: 1800 3: 1850 4: 1900. Тесты к теме 3. 1 Что представляет собой мнимая единица? 1: корень кв. из -1, 2: –1 3: (i)^2 4: (-1)^2
2. Найти корни квадратного уравнения х*х-х+1=0 1: Х1=1/2; Х2=3/2 2: Корней нет 3: Х1,2=1/2+-3/2i 4: Х1=2, Х2=-1
3. Произвести действия: Если Z1=1-2i, Z2= -2+3i, Найти Z1+Z2. 1: Z=1-i 2: Z= -1+i 3: Z=2+3i 4: Z=1+2i
4. Произвести действия: Если Z1=1-2i, Z2= -2+3i, Найти Z1*Z2. 1:Z= 4 2: Z=-8+3i 3: Z= -2+6i 4: Z=4-i
5. Найти Z”, если Z=2-i. 1: Z= -2-i 2: Z= -2+i 3: Z= 2+i 4: Z= 2
6. Представить число Z = -3 в виде комплексного числа. Указать его вещественную и мнимую части. 1: Z=3-3i, Re Z=3, Im Z= -3 2: Z=-3+iо, Re Z=-3, Im Z=0 3: Z=3i, Re Z=-0, Im Z=3 4: Z=3*i*i Re Z=0, Im Z=3
7. Найти корни квадратного уравнения х^2+4=0 1: Х=2 2: Корней нет 3: Х1,2=+-2i 4: Х= -2
8. Дано комплексное число Z= -3+2i. Найти координаты точки на плоскости хоу ему соответсвующие. 1; (-3;2) 2: (3,2) 3: (3, -2) 4: (-3,0)
9. Выделить вещественную и мнимую части числа Z=1-3i/5-i. 1: Z=1/5-3i 2: Z=4/13 – 7/13i 3: Z=1/26-3i 4: Z=1-i Тесты к теме 4. 1. Даны точки М1(3,1); М2(2,3); М3(6,0); М4(-3,-1). Определить какая из точек лежит на прямой 2х-3у-3=0 1: М1(3,1); 2: М2(2,3); 3: М3(6,0); 4: М4(-3,-1). 2. Дана прямая х-3у+2=0, точка М(1,у) лежит на этой прямой. Найти ордин ату этой точки. 1: у=-1, 2: у=0, 3: у=1, 4: у=5. 3. Дана прямая х-3у+2=0, точка Р(х,2) лежит на этой прямой. Найти абциссу этой точки. 1: х=0, 2: х=4, 3: х=1, 4: х= -4. 4. Даны точки А(-3,2) и В(1,6). Найти расстояние между ними АВ. 1: АВ=2. 2: АВ=4, 3: АВ=8, 4: АВ=4 * корень кв. из 2, 5. Даны четыре пары, указать какие из них являются параллельными прямыми.
6. Даны уравнения линий 1) у^2=х, 2)у=х^2+1, 3)х-у=0, 4)х^2 +у^2=1 Найти среди них уравнение прямой. 1: у^2=х,- 2: х - у=0, 3: у=х^2+1 4: х^2+у^2=1 7. Дано уравнение прямой у-2х+1=0. Записать это уравнение, как уравнение прямой с угловым коэффициентом. Найти отрезок в, отсекаемый прямой от оси ординат. 1: в= -1 2: в=1 3: в=1/2 4: в=0 8. Дана точка М(-1,2). Найти уравнение прямой проходящей через эту точку параллельно прямой 2х - у+3=0 1: х=2у 2: 2х - у=0; 3: х+у - 2=0; 4: 2х - у+4=0; 9. Среди заданных четырех прямых определить две перпендикулярные прямые. 1) х+у-5=0, 2)у=+х+2, 3)3х-3у+1=0, 4)2х=у 1: х+у-5=0, у=+х+2 2: х+у-5=0, 2х=у 3: у=х+2, у=2х 4: у=х+2, 3х-3у+1=0. 10. Дана прямая х+у-5=0. Найти точку А пересечения этой прямой с осью ох. 1: А(1,1); 2: А(-5,0); 3: А(5,0); 4: А(0,5) Тесты к теме 5. 1. Написать уравнение окружности с центром в начале координат, радиусом равным 2. 1: х^2 + у^2 = 4 2: х^2 + у^2 = 2 3: (х – 2)^2 + (у – 2)^2 = 4 4: х^2 = 2 2. Х^2 + у^2 + 2х = 0. Дано уравнение окружности. Указать точку, лежащую на этой окружности: М1 (0, 0), М2 (1, 2), М3 (- 1, 3); М4 (0, 2). 1: М2(1, 2), 2: М1(0, 0), 3: М3(- 1, 3), 4: М4(0, 2), 3. Из четырех уравнений найти уравнение эллипса. 1) х/25 + у/16 = 1, 2) х^2/9 + у^2/4 = 1, 3) у^2 = 1 – х, 4) х^2 + у^2 = 9 1: нет уравнения эллипса 2: х/25 + у/16 = 1 3: х^2/9 + у^2/4 = 1 4: х^2 + у^2 = 9 4. Выделить уравнение гиперболы из четырех уравнений: 1) х/16 - у/9 = 1, 2) х^2 – у^2 = 1, 3) х^2 + у^2 = 1, 4) х^2 + 2у^2 = 1 1: х^2 + 2у^2 = 1 2: х/16 - у/9 = 1, 3: х^2 + у^2 = 1, 4: х^2 – у^2 = 1, 5. Написать уравнение эллипса, зная, что малая полуось в=3, расстояние между фокусами F1 F2= 8. 1: x^2/64+y^2/9=1 2: x^2/16+y^2/9=1 3: x^2/8+y^2/9=1 4: x^2/25+y^2/9=1 6. Написать уравнение эллипса, если большая полуось а=в, эксцентриситет Е=0,5. 1: x^2/6+y^2/2=1 2: x^2/6+y^2/9=1 3: x^2/36+y^2/27=1 4: x^2+y^2=1 7. х^2/18 – y^2/4,5=1 Дано уравнение гиперболы. Написать уравнение асимптот. 1: y=+-х 2: у=+-1/2х; 3: y=+-1/18 х 4: y=1/3х 8. На параболе у^2=6х найти точку с абциссой равной 6 1: М(0,6) 2: М(6,6) 3: М(6,0) 4: М1(6,6) и М2(6,-6) 9. Дана парабола у^2=6х. Найти координаты фокуса F. 1: F(3/2;0) 2: F(3,0) 3: F(0,6) 4: F (0,3) 10. Написать уравнение гиперболы, если а=9, в=4. 1: x/81 - y/4=1 2: x^2/9+y^2/4=1 3: x^2/81 - y^2/16=1 4: x^2 - y^2=9 Тесты к теме 6. 1. Вычислить определитель!2 3! !4 5! 1: -2, 2: 22, 3: 2, 4: 7, 2. Вычислить определитель!2 3! !4 5! 1:-5, 2: 10, 3: 1, 4: 0, 3. Справедливо ли равенство!2 8 10!!1 4 5! !1 3 -1! =2!1 3 –1!? !2 0!1!2 0 1! 1: Нет, 2: Да, 4. Дан определитель!1 5 3! Найти минор М21 к элементу а21 = 6. !6 1 0! !3 0 –1!. 1: М21= 0, 2: М21= -2, 3: М21= 1, 4: М21= 4, 5. Дан определитель!1 5 3! Найти алгеброическое дополнение А21 к !6 1 0! элементу а21 = 6. !3 0 –1!. 1: А21= 2, 2: А21= -2, 3: А21= 1, 4: А21= 4, 6. Если элементы второй строки определителя умножить на соответствующие алгебраические дополнения и произведения сложить, то получим: 1: отрицательное число, 2: ноль, 3: любое число, 4: величину определителя, 7. Дана система уравнений х+у=3 2х-3у=1. Имеет ли эта система единственное решение? 1: Да, 2: Нет. 8. Дана система уравнений х - у=1 4х-4у=4 1: система не имеет решения, 2: система имеет единственное решение, 3: система неопределенная, 9. Дана система 2х-3у+5z=1 х+у-z =2 3х-у-2z=3 Указать свободные члены: 1:(5, -1, -2); 2: (2, 1, 3); 3: (-3, 1, -1); 4: (1, 2, 3); 10. Может ли определитель иметь три строки и два столбца? 1: Да. 2: Нет, Тесты к теме 7. 1. Выберите правильное утверждение: 1) Матрица может иметь любое число строк и столбцов. 2) Матрица всегда имеет одинаковое число строк и столбцов. 3) Матрица не может состоять из одной строки. 4) Матрица не может состоять из одного столбца. Ответ: 1) Ответ: 2) Ответ: 3) Ответ: 4) 2. Может ли матрица состоять из одного элемента? 1: Да, 2: Нет, 3: Да, если это элемент не равен нулю. 3. Умножить матрицу А=(1, -1, 3, ½) на число (-2): 1: -7 2: (1, -1, 3, -1) 3: (-2, -1, 3, ½) 4: (-2, 2, -6, -1) 4. Можно ли сложить матрицы 2*2 и 3*3? 1: Нет 2: Да. 5. Можно ли перемножить матрицы соразмерности 2*3 и 3*4? 1: Нет. 2: Да. 6. Транспонирование матриц – это: 1) Перестановка местами двух столбцов. 2) изменение знака у всех элементов, 3) Перестановка местами двух строк, 4) перестановка местами строк и столбцов, Ответ: 1) Ответ: 2) Ответ: 3) Ответ: 4) 7. Если размерность исходной матрицы равна 6*7, то транспонированная матрица будет иметь размерность: 1: 6*6 2: 6*7 3: 7*6 4: 7*7 8. Единичная матрица – это: 1: Матрица, у которой все элементы равны 1. 2: Матрица, у которой элементы главной диагонали равны 1, а остальные нули 3: Матрица, определитель которой равен 1. 4: Матрица, содержащая только один элемент. 9. Если А=(1,3, -2), В= (-1) (0) (2), то А*В равно 1: -5 2: (-1 0 –4) 3: (-1)(0)(-4) 4: Перемножить нельзя Тесты к теме 8. 1. N – множество натуральных чисел. Какое из множеств является его подмножеством: А= {2, 4, 6, 8…}, В= (N2, N3, N4,…}; С= {1, 1/2, 1/3, 1/4, …}; Д= {1, 0, 1}? 1: В, 2: А, 3: С, 4: Д, 2. Найти пересечение множеств А= {1, 3, 5, 7, 9} и В= {2, 4, 6, 8}. Ответ: пустое множество, 1: {1} 2: {1,2,3,4,5,6,7,8} 3: {0} 3. Найти объединение множеств А и В, если А = {1,3,5,7,9}; B = {2,4,6,8}. 1: AUB = {0} 2: AUB = 0 3: АUB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 4: AUB = {2,4,6,8} 4. Найти разность множеств А \ В, если А = {1,2,3,4}; B = {0,1,2}. 1: А\B = {3, 4} 2: A\B = {0,3,4} 3: A\B = {0,1,2} 4: A\B = {1,2,3} 5. Если /х/<2, то в виде двух неравенств его можно записать так: 1: -2<x<2 2: -2<=x<=2 3: 0<x<2 4: -2<x<0. 6. Если /х-1/<E, то E – окрестность точки 1 можно записать так: 1: -Е<x<Е 2: 1-Е<x<1+Е 3: 0<x<1+Е 4: -Е<x<0. 7. Если х принадлежит [-1, 3]. Какое из значений может принять х? 1: x<-1 2: -x= -3 3: x=0 4: x=4. 8. Если х не принадлежит (-2, 2). Какое из значений может принять х? 1: x= -1. 2: -x= 0 3: x=2 4: x= -4 9. Если –2<х<=0, то решением является: 1: (-2, 0) 2: (-2, 0] 3: (-2, 2) 4: [-2, 0]. 10. Найти пересечение множеств (-2, 2) и (-3, 1): 1: (-3, 2) 2: [0, 1] 3: (-2, 1) 4: [-2, 0]. Тесты к теме 9. «Функция. Классификация функций». 1. Найти область определения функции у = (х-2) / (х^2 – 9) 1: (0, 2) 2: (-00, -9) U (9, 00).- 3: (2, 3). 4: (-00, -3) U (-3,3) U (3,00). 2 Найти область определения функции у = (х-1)^1/2 1: (-00, 00). 2: (0, 00). 3: [1, 00). 4: x = 0 3. Найти область определения функции у = lg(2+х) 1: (-2, 00). 2: [2, 00). 3: (-00, 00). 4: x = 0 4. Найти значения функции у = х^2/ (х-1) в точке х = 0. 1: у = -1. 2: у = 0. 3: у = 00. 4: у = 2 5. Найти значения функции у = х^2/(х-1) в точке х = 1. 1: у = -1. 2: у = 1. 3: не существует. 4: у = 2 6. Найти значения функции у = х^2/(х-1) в точке х = (а^2) +1. 1: у = не существует. 2: у = ([а^2]+1)/а^2. 3: у = -1. 4: у = [(а^2 + 1)^2]/а^2. 7. Дана функция у = (sinх)^2 +5. К какому классу функций она принадлежит? 1: Трансцендентная. 2: алгебраическая. 8. Написать целую алгебраическую функцию второй степени, в общем виде. 1: у = х^2. 2: у = [(А0)*х^2] + (А1)*х + А2. 3: у = [(А0)х^2]+1. 4: у = (х^2)/(х+1) 9. Указать дробно-рациональную функцию из заданных функций: 1) у=2*х/(1+х+х^2); 2) у=х/(sinх); 3) у=(2)^х/2; 4) у= lg(х+2)/(х-2) Ответ: 1). Ответ: 2). Ответ: 3). Ответ: 4). 10. Дана сложная функция у = [sin (1-х)]^2. Представить ее в виде цепочки простых функций. 1: U = sin x, V = U-1, y = (U-1)^2. 2: U = sin(1-x), y = U^2. 3: U = 1-х, V = sinU, y = V^2. 4 y = [sin(1-x)]^2 – простая функция
Тесты к теме 10.
1: 2 2: 0 3: не существует. 4: 1
1: не существует. 2: 0 3: 2/3 4: 1/2
1: 0 2: 5/6 3: 1/2 4: 1/6
1: 1 2: 0 3: -1 4: 00
1: 1 2: 0 3: не существует. 4: 00
1: не существует. 2: 0 3: 00 4: 5
1: 00 2: 1 3: е 4: не существует
1: е2 2: е 3: 1 4: 00 9. Является ли функция у=х2 непрерывной в точке х=2 1: Нет 2: Да 10. Является ли функция у=1/(2х+1) непрерывной в точке х=1 1: Да 2: Нет Тесты к теме 11. 1. Найти приращение функции у=1/х, если х=1, ∆х=0,1. 1: - 1/11, 2: 0,1, 3: 0,01, 4: - 1, 2. Пользуясь определением производной, найти производную от функции у=х^3. 1: 3х^2∆х, 2: х^2, 3: 3х^2 - 1, 4: 3х^2, 3. Найти производную от функции у=хe^x, в точке х=0. 1: e+e^-1, 2: e^1, 3: 1, 4: 0, 4. Найти производную от функции у=х^5 – ¼x^4 + 3, в точке х. 1: 5x^4 – x^3 + 3, 2: 5х^4 – x^3, 3: 5x^4 – x^4 + 1, 4: 3, 5. Найти производную от функции у=sinx/cosx 1: sinx - cosx, 2:-cosx/sinx, 3: 1/cosx^2, 4: 1, 6. Найти дифференциал функции у=х^3 – 1. 1: 3(dx)^2, 2: 3x^2, 3: 3dx, 4: 3х^2dx, 7. Дана функция у=3х^2 – х + 1. Найти у`` 1: 6x, 2: 6, 3: 1, 4: 6x^2, 8. Найти у```, если у=х^6 – 1/4х^4+1/2x^2+2. 1: 120х^3 – 2x, 2: 120x^3, 3: 120x^3 – 2x +2, 4: 120, 9. Найти у```, если у=(х^2)*e^x. 1: 2e^х + 4xe^x +(x^2)*e^x, 2: 2xe^x+(x^2)*e^x, 3: 2xe^x + e^x, 4: 2e^x, Тесты к теме 12. 1. Найти первообразную для функции у = х. 1: х – 2 2: 2х, 3: 2х^2, 4: (х^2)/2. 2. Даны функции F1 (x) = sinx – 8, F2 = sinx +3. Первообразными для какой функции они являются? 1: х, 2: cosx, 3: -cosx, 4: -х. 3. Найти производную от функции $ln(x^2 +1)dx. 1: 2х/ [(x^2) +1], 2: ln[(х^2)+1]. 3: ln((х^2)+1)dx, 4: 1/((x^2)+1) 4. Найти дифференциал от функции $x arcsin2x dx. 1: x arcsin2x dx. 2: arcsin2х, 3: arcsin2x dx, 4: [arcsin2x +2x/ (1-4(x^2))^1/2]dx. 5. Вычислить $d(2^x^2) 1: (2^х^2) (ln2)2x, 2: (2^х^2)+C. 3: (2^х^2)dx, 6. Вычислить интеграл $(x^2 -3)dx. 1: [(x^3)/3x] – 3x, 2: [(х^3)/3] – 3х +С. 3: (3х^3)+C, 4: [(x^2)-3]+C 7. Справедлива ли формула $U(x) V(x)dx = $U(x)dx*$V(x)dx? 1: Нет 2: Да. 8. Можно ли вынести постоянный множитель за знак интеграла? 1: Да. 2: Нет 9. Указать какие из интегралов является «неберущимися» $sin(x^2) dx, $lnx/x dx, $[1+ (x^1/3)] dx. 1: sin(x^2) dx. 2: $ lnx/x dх, 3: $[1+x^1/3]dx. 10. Указать какие из интегралов является «неберущимися» $(e)^-x^2 dx, $xe^x^2, $x^2 e^-x^2 dx, $xe^-x^2 dx. 1.$xe^-x^2 dx, 2: $ xe^x^2 dх, 3: $e^-x^2 dx 4: $[(x^2) (e^-x^2)] dx. Тесты к теме 13. 1. Вычислить интеграл в пределах (1, 00) от функции dx/(x^2). 1: 1, 2: расходится, 3: 0, 4: -1, 2. Вычислить интеграл в пределах (0, 00) от функции e^-x dx. 1: расходится, 2: 1, 3: 0, 4: -1, 3. Вычислить интеграл в пределах (-00, 00) от функции e^-2x dx. 1: -1, 2: 0, 3: 1, 4: расходится, 4. Вычислить интеграл в пределах (0, 1) от функции dx/x. 1: 2, 2: сходится 3: расходится, 4: 0, Тесты к теме 14. 1. Зависит ли интегральная сумма для функции у=f(x) на отрезке [а, в] от способа разбиения отрезка на 10 частей? 1: Да, 2: Нет, 2. Зависит ли интегральная сумма для функции у=f(х) на отрезке [а, в]от выбора точек Сi на i элементарном отрезке, i = 1,2,…,п?. 1: Нет, 2: Да, 3. Можно ли записать интеграл в пределах (0, 2) от функции (sinx^2 – 3x^1/2)dx = $ в пределах от (0, 2) от функции sinx^2 dx + 3$ в пределах (0, 2) от функции х^1/2 dx? 1: Да, 2: Нет, 4. Можно ли записать интеграл в пределах (0, 2) от функции f(x)dx = интегралу в пределах (0, 1) от функции f(x)dx + интеграл в пределах (1, 2) от функции f(x)dx. 1: Нет, 2: Да, 5. Вычислить интеграл в пределах (4, 3) от функции (x^1/2)dx. 1: 2/3, 2: 19, 3: 38/3, 4: 1, 6. Вычислить интеграл в пределах (0,П/2) от функции (sinx)dx. 1: 1/2, 2: -1, 3: 0, 4: 1, 7. Вычислить интеграл в пределах (1, 3) от функции dx/х^2. 1: -1/3, 2: 2/3, 3: 1, 4: 0, 8. Найти значение интегральной суммы для f(x) = 1 на отрезке [a, в]. 1: в-а, 2: ав, 3: 1/в-а, 4: 2, 9. Верно ли равенство интеграл в пределах (0, 2) от f(x)dx.= - интеграл в пределах (2, 0) от f(x)dx? 1: Нет. 2: Да,
.
МАТЕМАТИКА
Тема 11. Производная и дифференциал. Тема 12. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-08; просмотров: 2065; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.147.68.201 (0.009 с.) |