Производная,определение и геометрический смысл. Формула для приращения функции

Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда аргумент стремится к нулю.

Производная функции f(x) есть некоторая функция

f ’(x), произведенная из данной функции.

Функция y=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) называется дифференцируемой в этом интервале.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Дифференциал функции y=f(x) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x)).

Иначе. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Формула приращения:

дельтаU=f(x+дельтаX,y+дельтаY,z+дельта Z)-f(X,Y,Z)

у=f(x)отсюда следует дельта у=у’*дельта Х+альфа дельтаХ

24. Правила вычисления производных. Производная обратной функции.Одностороняя производная,бесконечная производная.

Производная суммы двух любых выражений равна сумме производных этих выражений (производная суммы равна сумме производных)

Производная разности двух любых выражений равна разности производных этих слагаемых (производная разности равна разности производных).

У=(U(x)=-V(x))’=U’(x)+-V’(x)

Производная от произведения двух множителей равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго (сумма поочередно взятых производных от множителей).

(U(x)*V(x))’=U’(x)V(x)+U(x)V’(x)

Производная от частного двух выражений равна частному разности поочередно взятых производных от множителей и квадрата знаменателя.

(U(x)/V(X))’=U’(x)V(x)-V’(x)U(x)/V^2(x)

Производная от произведения числа на функцию. Чтобы найти производную от произведения числа на буквенное выражение (на функцию) нужно умножить это число на производную этого буквенного выражения.

(CU(x))’=CU’(x)

Производная сложной функции:

(f(g(x)))’=f’(g(x))*g’(x)

Для вычисления производной сложной функции необходимо найти производную внешней функции и умножить ее на производную внутренней функции.

Производная обратной функции

Пусть у=f(x) - фекал от аргумента x в некотором интервале(a,b). Если в уравнении y=f(x) y считать аргументом, а x - функцией, то возникает новая функция x= F(y), где f[F(y)]=y - функция обратная данной.

Для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е

Yx’=1/X’y

Односторонняя функция- - обобщение понятия производной, в к-рой обычный предел заменяется односторонним пределом. Если для функции f(x)действительного переменного существует

то этот предел наз. правой (левой) производной функции f(x) в точке х 0. В случае равенства этих О. п. функция имеет в точке х 0 обычную производную.

Производная функции в точке, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной

Если существует конечный (или бесконечный) = , то он называется конечной (или бесконечной) производной функции в точке

25. Дифференциал.Инвариантность.

Дифференциал функции y=f(x) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обо-значается dy (или df(x)).

Иначе. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал незави-симой переменной.

Если x - независимая переменная, то dx = x - x0 (фиксированное приращение). В этом случае имеем df(x0) = f'(x0)dx.

Если x = φ(t) - дифференцируемая функция, то dx = φ'(t0)dt. Следовательно,

dt=

т. е. первый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно замены аргумента.

Инвариаетность

Теорема Ролля,Теорема Ферма

Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) утверждает, что

Если вещественная функция, непрерывная на отрезке[a,b] и дифференцируемая на интервале(a,b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Доказательство

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.в интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Теорема Ролля:пусть

1)f(x)определена и непрерывна на промежутке[a,b]

2)сущ-ет конечная производная f’(x)в интервале(a,b)

3)на концах f(a)=f(b),тогда сущ-ет С,а<C<b f’(c)=0 m<=f(x)<=M

Функция достигает наибол. И наименьш. Зн-е дельта m=M отсюда следует f(x)=const отсюда следует f’(x)=0

2m не равно M

На концах значения одинаковые,то или мин или максимальное достигают во внутренней точке то по теор. Ферма в этой точке производная равна нулю

Теорема Ферма:
Пусть ф-я f(x)определена в некоторых промежутках Х и во внутренней точке С принимает наибольшее (наименьшее)значение,тогда f’(x)=0