Понятие производной функции, ее геометрический смысл.

Производной функции y’(x), f’(x) называетсяпредельное значение приращения функции к приращению аргумента

Геометрический смысл-tg угла наклона касательной к графику функции.

Правая и левая производные.

Правой(левой) производной функции y=f(x) называется правое(левое) предельное значение отношения приращения функции

F’(x+0) правая производная, F’(x-0) левая производная.

 

Дифференцируемость функции(определение. Теорема26).

Функция называется дифференцируемой в т. X, если ее приращение Δy (в этой точке), соответствующее приращению аргумента Δx, равно Δy=A* Δx+o(Δx) не зависит от Δx.

Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке x₀ необходимо и достаточно, чтобы она имела этой точке конечную производную.

Необходимость-считается, что функция дифференцируема в точке x0. Надо доказать, что она имеет в этой точке производную. По определению дифференциала функции Δy= => =A+ , =A+ =A, y’(x0)=A. Δy0=y’(x0)+o()

Достаточность-считается,что в т. x0 существует конечная производная. Надо доказать, что в x0 функция дифференцируема. По определению производной =f’(x), тогда – y’(x0)=α( = α(, =y’(x0)* +o(x)

Дифференциал функции.

Дифференциалом функции dy в точке x₀ называется главное приращение функции в этой точке dy=y’(x)*dx

Правила дифференцирования суммы, разности, произведения частного(теорема27).

Пусть функции u(x) и g(x) дифференцируемы в точке x. Тогда сумма, разность, произведение, частное(при условии, что знаменатель ≠0 в точке x) этих функций также дифференцируемы. При этом справедливы формулы:

1. .

2. .

3. .

Дифференцирование обратной функции(теорема28)

Пусть функция y=f(x) дифф. в точке x₀ и пусть в окрестности этой точки y=f(x) имеет обратную функцию x=f^-1(y). Тогда обратная функция дифф. в точке y₀ =f(x₀)(соответствует т. X₀) и справедлива формула: (y₀)= =

Док-во. Возьмем некоторое приращение аргумента y, т.е. 0. Тогда соответствующее приращение (в силу строгой монотонности обратной функции). Производная обратной функции (y₀)= = =

 

Производные показательной и обратных тригонометрических функций.

1. y=a^x (a>0, a≠0, x (-∞, +∞)) x=log_ay обратная функция. y’=[a^x]_x’= = =ylna=a^xlna

2. y=arcsinx (x [-1, 1], y [ , ]) x=siny, y’=[arcsinx]’= = . Используя основное тригонометрическое тождество: sin²y+cos²y=1 => cosy=+- , cosy= , тк y [ , ]. = = . По аналогии ищутся другие производные.

3. Y=arctg x; (x (-∞, ∞), y (, )), x=tg x. y’=[arctg x]’= =cos²y=(1+tg²y= )= = . [arctg x]’= .

Правило дифференцирования сложной функции(теорема29).

Рассмотрим сложную функцию вида y=f(g(x)). Пусть функция g(x) дифференцируема в точке x₀ , а функция f(g) дифференцируема в точке g₀=g(x). Тогда сложная функция y=f(g(x)) дифференцируема в точке x₀ , при этом справедлива формула * (без доказательства).

Логарифмическая производная.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x и положительна в ней. Тогда имеет смысл равенство ln y=ln f(x), (ln y)’=(ln(f(x)))’ => => y’=y(ln f(x))’; логарифмическая производная применяется при вычислении производной функции вида y=

Использование дифференциала для приближенных вычислений.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x₀, тогда приращение Δy=f’(x) при x<<1 можно заменить Δy на dy (Δy≈dy=f’(x₀)Δx). y(x₀ + Δx)-y(x₀) ≈f’(x)dx, y(x₀ + Δx) ≈ y(x₀)+ f’(x₀)dx

Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x, тогда y’=f’(x)=g(x). Если g(x) дифференцируема в той же точке, можно записать g’(x)=[f’(x)]’=f’’(x). Рассуждая аналогично, можно ввести поняти3,4,… n-порядок производных.

Для производной n-го порядка принято следующее обозначение y⁽ⁿ⁾=f⁽ⁿ⁾(x).

Формула Лейбница.

Y=u(x)*v(x). (uv)⁽ⁿ⁾=

Дифференциал высшего порядка. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x. dy=f’(x)dx. Если функция f’(x) дифференцируема, то можно записать d(dy)=d²y=d(f’(x)dx)=d(f’(x)dx=f’’(x)dxdx=f’’(x)(dx)²

Если функция n-раз дифференцируема, то можно записать dⁿy=f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ=f⁽ⁿ⁾(x)=

Дифференцирование функции, заданной параметрически. ,

Правило Лопиталя(теорема30). Пусть функция f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x₀, пусть кроме того, = =0, = =∞ и производная g’(x) отлична от 0 в рассматриваемой окрестности. Тогда если существует предельное значение , то существует и предельное значение и справедливо равенство: = . Замечание -если условие теоремы выполняется для f’(x) и g’(x), то справедливо =…… . Данное правило используется для раскрытия неопределенностей вида , , .

Формула Тейлора(теорема31).

Пусть функция у=f(x) дифференцируема n-раз в точке x₀ и некоторой окрестности этой точки. Тогда для любой точки x из этой окрестности справедлива формула:

f(x)=f(x0)+ + +…+ + , остаточное слагаемое.

В форме Пеана o((x-x0)’), в форме Лагранжа * .

Частный вид формулы Тейлора при x0 носит название формулы Маклорена.