Тема 9. Функции нескольких переменных.

Пискунов, гл VIII, § 1-17, гл IX, § 6. упр 1-49.

Данко, гл VIII, § 1-4.

 

9.1 Определение функции 2-х аргументов. Область определения функции.

 

Определение. Если каждой паре действительных чисел (x,y) Î D по некоторому правилу (закону) поставлено в соответствие одно и только одно значение переменной ZÎ E, то говорят, что на множестве D задана функция z =f(x,y).

Множество D-область определения функции.

Область D есть часть плоскости, ограниченная замкнутой линией.

Графиком функции z =f(x,y) является некоторая поверхность Q.

 

 

 

Задача. Найти область определения функции

 

Решение:

Функция zпринимает действительные значения при условии a²-x²-y²≥0→x²+y²≤ a² круг с центром в начале координат, радиус круга a.

 

Ответ: Областью определения данной функции является круг вида x²+y² ≤ a²

(граница-окружность включается)

Изображение области определения на координатной плоскости ХОУ.

 

 

 

 

9.2 Производные и дифференциалы функции 2-х аргументов.

 

Основные формулы.

 

1. - частная производная 1-го порядка функции z по переменной x.

 

2. - частная производная 1-го порядка функции Z по переменной y.

вычисляется при постоянном y, вычисляется при постоянном x.

При вычислении , используются правила и формулы дифференцирования (смотреть таблицу производных).

полный дифференциал функции

 

где - частные дифференциалы

функции

 

4. Для дифференцируемой функции справедливы приближённые равенства.

а), где - полное приращение функции.

 

, dz- полный дифференциал.

 

Эта функция используется в нахождении приближённых значений функции.

5.Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от её частных производных первого

порядка.

 

6. - дифференциал второго порядка для функции

 

7. Если z= f(x,y), где x= φ(t), y=ψ(t), то - производная сложной функции. z=f(φ(t),ψ(t)).

8. Если z=f(x,y), где то

 

9. Производная неявной функции, заданной уравнением,где F(x,y)-дифференцируемая функция,

вычисляется по формуле:

 

10. Частные производные неявной функции заданной уравнением вычисляются по формулам:

 

 

при условии

9.3 Примеры решения задач.

Задача 1.

 

Найти .

 

Решение:

, где

 

Задача 2. Найти полный дифференциал функции z= x³y+ xtgx

 

Решение:

- теоретическая формула.

Где

 

Задача 3. Вычислить приближённое значение функции в точке P(2,97;4,02)

 

 

Решение:

 

 

т.Р

 

 

 

Тогда

 

Или

 

Или

Задача 4. Найти производную функции в направлении, составляющим с положительным направлением оси (ОХ) угол a=60°.

 

Решение:

 

, где aи b- углы наклона вектора к оси и к оси (OY)⁺ соответственно.

a=60°, тогда b=30°

 

тогда

- ответ.

 

Задача 5. Вычислить градиент функции в точке А (2;1).

 

Решение:

 

, где - базисные векторы, орты.

 

 

 

 

Задача 6. Найти смешанные частные производные второго порядка функции

 

Решение:

 

Дифференцируя, получаем

Дифференцируя по x(y=const), получаем

 

Ответ:

Задача 7. Исследовать на экстремум функцию

 

 

Решение: (1) - необходимое условие экстремума.

 

(2) где является решением системы (1).

 

Неравенство (2) является достаточным условием экстремума.

 

Причём, если то в точке есть максимум функции.

И если то в точке есть минимум функции.

 

Имеем:

 

(1) Þ

 

есть экстремум, причём т.к

 

то в точке P₀(0;3) есть максимум

 

Ответ:

 

Задача 8.

 

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутом треуголь­нике АОВ, ограниченном осями координат и прямой x + y -4=0 (рис. 12).

 

Решение. Чтобы найти наибольшее, и наименьшее значения функции в заданной замкнутой области, необ­ходимо:

 

1) найти стационарные точки, лежащие внутри области, и вычислить значения функции в этих точках; исследовать на экстремум эти точки не следует;

2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области; если граница состоит из нескольких линий, то исследование проводится для каждого участка в отдель­ности;

3) сравнить полученные значения функции и уста­новить наибольшее и наименьшее значения функции в заданной замкнутой области.

 

Находим стационарные точки, ле­жащие внутри заданной области:

 

 

 

 

Приравняв нулю частные производные и решив полученную систему

 

 

находим стационарную точку Р₀(1; 2). Эта точка принад­лежит заданной области. Вычислим значение функции в этой точке:

 

 

Граница области состоит из отрезка ОА оси Ох, от­резка 0В оси Оу и отрезка АВ. Определим наибольшее и наименьшее значения функции z на каждом из этих трех участков. На отрезке ОА

у = 0, а 0 £ x £ 4. Если у=0, то z(x) = х² — 2x + 5. Находим наибольшее и наи­меньшее значения этой функции на отрезке [0, 4]:

 

 

 

Вычислим значения функции на концах отрезка ОА, т. е. в точках 0(0; 0) и A(4; 0):

 

z(0) = 5, z(4)= 13.

 

На отрезке OB х = 0 и 0 £ y £ 4. Если х = 0, то z(y) = 2у ² -8у + 5. Находим наибольшее и наименьшее зна­чения функции z от переменной у на отрезке [0; 4]:

 

 

В точке О (0; 0) значение функции уже было найдено. Вычислим значение функции в точке В:

 

 

z(В) = z (0; 4) = 5.

 

Теперь исследуем отрезок АВ. Уравнением прямой АВ будет у = 4 - х. Подставив это выражение- для у в за­данную функцию z, получим

 

 

Определим наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [0; 4]:

 

 

 

Рз — стационарная точка на отрезке АВ. Вычислим зна­чение функции в этой точке:

 

 

Значения функции на концах отрезка АВ найдены ранее.

 

Сравнивая полученные значения функции z в стацио­нарной точке Ро заданной области, в стационарных точ­ках на границах области P₁, Р₂, Рз и в точках О, А и В, заключаем, что наибольшее значение в заданной замкну­той области функция z имеет в точке А, наименьшее значение — в точке Р_о(1; 2). Итак,

 

Задача 9. Найти если , где x=acost, y=asint.

 

Решение:

 

Речь идёт о дифференцировании сложной функции.

 

Используя формулу получим

 

Задача 10.

 

Исследовать на экстремум функцию z = - 4 + 6x- х² – ху- у².

Решение: Чтобы исследовать данную дважды дифференцируемую функцию z = f (x, у) на экстремум, необходимо:

1. Найти частные производные первого порядка и , приравнять их нулю и решить систему уравнений:

 

Каждая пара действительных корней этой системы опре­деляет одну стационарную точку исследуемой функции.

Пусть р_о (х₀ , у₀) одна из этих точек.

2. Найти частные производные второго порядка и вычислить их значения в каждой стационарной точке.

 

Положим, что

 

 

3. Составить и вычислить определитель второго порядка

4. Если в исследуемой стационарной точке р₀(x₀, y₀) D>0, то функция z = f(x, у) в этой точке имеет макси­мум при A<0 и минимум при A>0; если D<0, то в исследуемой точке нет экстремума.

Если D = 0, то вопрос об экстремуме требует допол­нительного исследования.

 

Находим стационарные точки заданной функции:

 

 

Решение системы даёт x₀= 4, y₀= -2.

 

 

Следовательно, данная функция имеет только одну стационарную точку Ро(4, - 2).

Находим частные производные второго порядка и их значения в найденной стационарной точке:

 

 

Как видно, частные производные второго порядка не содержат х, они постоянны в любой точке и, в частности, в точке Р₀(4, -2). Имеем А = -2; В = - 1; С=- 2.

 

 

Так как D>0 и A<0, то в точке Ро(4; -2) данная функ­ция имеет максимум:

 

 

9.10 Вопросы для самопроверки.

1. Сформулируйте определения функции двух, трёх переменных. Каков геометрический смысл функции двух независимых переменных?

1. Что называется областью существования (определения) функции двух переменных?
2. Что называется пределом функции двух независимых переменных?
3. Сформулируйте определение непрерывности функции двух переменных в точке и в области.
4. Что называется частным приращением функции двух переменных? Полным приращением функции двух (нескольких) переменных?
5. Дайте определение частной производной функции двух (нескольких) переменных. Укажите геометрический смысл частных производных функции двух переменных.
6. Что называется частным дифференциалом функции двух переменных и каков его геометрический смысл?
7. Что называется полным дифференциалом функции двух (нескольких) переменных? Каков геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных?
8. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.
9. Что называется полной производной и как она находится?
10. В чём смысл инвариантности полного дифференциала функции двух (нескольких) переменных?
11. Сформулируйте правило дифференцирования неявной функции одной независимой переменной; двух независимых переменных.
12. Что называется частной производной второго порядка?
13. Сформулируйте теорему о равенстве смешанных частных производных второго порядка.
14. Сформулируйте теорему о независимости частной производной высшего порядка от последовательности дифференцирования.
15. Дайте определение максимума (минимума) функции двух переменных.
16. Сформулируйте необходимые условия экстремума функции двух переменных. Укажите геометрический смысл необходимого признака экстремума функции двух переменных.
17. Какие точки называются критическими и как они находятся?
18. Сформулируйте достаточные условия экстремума функции двух независимых переменных.
19. Укажите способ отыскания наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в заданной замкнутой области.
20. Дайте определение производной в данном направлении.
21. Что называется градиентом функции двух переменных? Трёх переменных?
22. Напишите уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в данной точке.
23. В чём сущность подбора эмпирических формул по способу наименьших квадратов?