Тема 9. Функции нескольких переменных.

Пискунов, гл VIII, § 1-17, гл IX, § 6. упр 1-49.

Данко, гл VIII, § 1-4.

 

9.1 Определение функции 2-х аргументов. Область определения функции.

 

Определение. Если каждой паре действительных чисел (x,y) Î D по некоторому правилу (закону) поставлено в соответствие одно и только одно значение переменной ZÎ E, то говорят, что на множестве D задана функция z =f(x,y).

Множество D-область определения функции.

Область D есть часть плоскости, ограниченная замкнутой линией.

Графиком функции z =f(x,y) является некоторая поверхность Q.

 

 

 

Задача. Найти область определения функции

 

Решение:

Функция zпринимает действительные значения при условии a²-x²-y²≥0→x²+y²≤ a² круг с центром в начале координат, радиус круга a.

 

Ответ: Областью определения данной функции является круг вида x²+y² ≤ a²

(граница-окружность включается)

Изображение области определения на координатной плоскости ХОУ.

 

 

 

 

9.2 Производные и дифференциалы функции 2-х аргументов.

 

Основные формулы.

 

1. - частная производная 1-го порядка функции z по переменной x.

 

2. - частная производная 1-го порядка функции Z по переменной y.

вычисляется при постоянном y, вычисляется при постоянном x.

При вычислении , используются правила и формулы дифференцирования (смотреть таблицу производных).

полный дифференциал функции

 

где - частные дифференциалы

функции

 

4. Для дифференцируемой функции справедливы приближённые равенства.

а), где - полное приращение функции.

 

, dz- полный дифференциал.

 

Эта функция используется в нахождении приближённых значений функции.

5.Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от её частных производных первого

порядка.

 

6. - дифференциал второго порядка для функции

 

7. Если z= f(x,y), где x= φ(t), y=ψ(t), то - производная сложной функции. z=f(φ(t),ψ(t)).

8. Если z=f(x,y), где то

 

9. Производная неявной функции, заданной уравнением,где F(x,y)-дифференцируемая функция,

вычисляется по формуле:

 

10. Частные производные неявной функции заданной уравнением вычисляются по формулам:

 

 

при условии

9.3 Примеры решения задач.

Задача 1.

 

Найти .

 

Решение:

, где

 

Задача 2. Найти полный дифференциал функции z= x³y+ xtgx

 

Решение:

- теоретическая формула.

Где

 

Задача 3. Вычислить приближённое значение функции в точке P(2,97;4,02)

 

 

Решение:

 

 

т.Р

 

 

 

Тогда

 

Или

 

Или

Задача 4. Найти производную функции в направлении, составляющим с положительным направлением оси (ОХ) угол a=60°.

 

Решение:

 

, где aи b- углы наклона вектора к оси и к оси (OY)⁺ соответственно.

a=60°, тогда b=30°

 

тогда

- ответ.

 

Задача 5. Вычислить градиент функции в точке А (2;1).

 

Решение:

 

, где - базисные векторы, орты.

 

 

 

 

Задача 6. Найти смешанные частные производные второго порядка функции

 

Решение:

 

Дифференцируя, получаем

Дифференцируя по x(y=const), получаем

 

Ответ:

Задача 7. Исследовать на экстремум функцию

 

 

Решение: (1) - необходимое условие экстремума.

 

(2) где является решением системы (1).

 

Неравенство (2) является достаточным условием экстремума.

 

Причём, если то в точке есть максимум функции.

И если то в точке есть минимум функции.

 

Имеем:

 

(1) Þ

 

есть экстремум, причём т.к

 

то в точке P₀(0;3) есть максимум

 

Ответ:

 

Задача 8.

 

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутом треуголь­нике АОВ, ограниченном осями координат и прямой x + y -4=0 (рис. 12).

 

Решение. Чтобы найти наибольшее, и наименьшее значения функции в заданной замкнутой области, необ­ходимо:

 

1) найти стационарные точки, лежащие внутри области, и вычислить значения функции в этих точках; исследовать на экстремум эти точки не следует;

2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области; если граница состоит из нескольких линий, то исследование проводится для каждого участка в отдель­ности;

3) сравнить полученные значения функции и уста­новить наибольшее и наименьшее значения функции в заданной замкнутой области.

 

Находим стационарные точки, ле­жащие внутри заданной области:

 

 

 

 

Приравняв нулю частные производные и решив полученную систему

 

 

находим стационарную точку Р₀(1; 2). Эта точка принад­лежит заданной области. Вычислим значение функции в этой точке:

 

 

Граница области состоит из отрезка ОА оси Ох, от­резка 0В оси Оу и отрезка АВ. Определим наибольшее и наименьшее значения функции z на каждом из этих трех участков. На отрезке ОА

у = 0, а 0 £ x £ 4. Если у=0, то z(x) = х² — 2x + 5. Находим наибольшее и наи­меньшее значения этой функции на отрезке [0, 4]:

 

 

 

Вычислим значения функции на концах отрезка ОА, т. е. в точках 0(0; 0) и A(4; 0):

 

z(0) = 5, z(4)= 13.

 

На отрезке OB х = 0 и 0 £ y £ 4. Если х = 0, то z(y) = 2у ² -8у + 5. Находим наибольшее и наименьшее зна­чения функции z от переменной у на отрезке [0; 4]:

 

 

В точке О (0; 0) значение функции уже было найдено. Вычислим значение функции в точке В:

 

 

z(В) = z (0; 4) = 5.

 

Теперь исследуем отрезок АВ. Уравнением прямой АВ будет у = 4 - х. Подставив это выражение- для у в за­данную функцию z, получим

 

 

Определим наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [0; 4]:

 

 

 

Рз — стационарная точка на отрезке АВ. Вычислим зна­чение функции в этой точке:

 

 

Значения функции на концах отрезка АВ найдены ранее.

 

Сравнивая полученные значения функции z в стацио­нарной точке Ро заданной области, в стационарных точ­ках на границах области P₁, Р₂, Рз и в точках О, А и В, заключаем, что наибольшее значение в заданной замкну­той области функция z имеет в точке А, наименьшее значение — в точке Р_о(1; 2). Итак,

 

Задача 9. Найти если , где x=acost, y=asint.

 

Решение:

 

Речь идёт о дифференцировании сложной функции.

 

Используя формулу получим

 

Задача 10.

 

Исследовать на экстремум функцию z = - 4 + 6x- х² – ху- у².

Решение: Чтобы исследовать данную дважды дифференцируемую функцию z = f (x, у) на экстремум, необходимо:

1. Найти частные производные первого порядка и , приравнять их нулю и решить систему уравнений:

 

Каждая пара действительных корней этой системы опре­деляет одну стационарную точку исследуемой функции.

Пусть р_о (х₀ , у₀) одна из этих точек.

2. Найти частные производные второго порядка и вычислить их значения в каждой стационарной точке.

 

Положим, что

 

 

3. Составить и вычислить определитель второго порядка

4. Если в исследуемой стационарной точке р₀(x₀, y₀) D>0, то функция z = f(x, у) в этой точке имеет макси­мум при A<0 и минимум при A>0; если D<0, то в исследуемой точке нет экстремума.

Если D = 0, то вопрос об экстремуме требует допол­нительного исследования.

 

Находим стационарные точки заданной функции:

 

 

Решение системы даёт x₀= 4, y₀= -2.

 

 

Следовательно, данная функция имеет только одну стационарную точку Ро(4, - 2).

Находим частные производные второго порядка и их значения в найденной стационарной точке:

 

 

Как видно, частные производные второго порядка не содержат х, они постоянны в любой точке и, в частности, в точке Р₀(4, -2). Имеем А = -2; В = - 1; С=- 2.

 

 

Так как D>0 и A<0, то в точке Ро(4; -2) данная функ­ция имеет максимум:

 

 

9.10 Вопросы для самопроверки.

1. Сформулируйте определения функции двух, трёх переменных. Каков геометрический смысл функции двух независимых переменных?