II. Введение в математический анализ.

 

11. Элементы математической логики. Необходимость и достаточ­ность. Символика математической логики и ее использование.

12. Множество вещественных чисел. Числовые последовательности. Предел. Верхние и нижние пределы множеств. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Свойства функций, имеющих предел.

13. Непрерывность функции. Непрерывность основных элементар­ных функций.

14. Бесконечно малые функции и их свойства.

15. Бесконечно большие функции и их свойства. Связь между бесконечно большими функциями и бесконечно малыми.

16. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно ма­лые. Их использование при вычислении пределов.

17. Свойства непрерывных в точке функций. Непрерывность сум­мы, произведения и частного. Предел и непрерывность сложной функ­ции.

18. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация.

19. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.

III.Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

20. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения и частного (обзор теорем школьного курса).

21. Производная сложной функции. Производная обратной функ­ции. Производные обратных тригонометрических функций. Функции, заданные параметрически, и их дифференцирование.

22. Гиперболические функции, их свойства и графики. Производ­ные гиперболических функций.

23. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной. Геометрический смысл дифференциала. Линеаризация функции. Дифференциал суммы, произведения и част­ного. Инвариантность формы дифференциала.

24. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

25. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение. Правило Лопиталя.

26. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Представление функций e^x, cos x, sin x, ln (l+x), (1+х)^a по формуле Тейлора. Понятие главной части функции, выделение главной части функции. Приложения формулы Тейлора. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

 

IV. Исследование функций с помощью производных

 

27. Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Необходимые условия экстремума. Достаточные признаки существо­вания экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.

28. Исследование функции на экстремум с помощью производных высшего порядка. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций.

 

V. Неопределенный интеграл.

 

29. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таб­лица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирова­ние по частям и подстановкой.

30. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование выражений, содержащих тригоно­метрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Использование таблиц интегралов.

VI. Определенный интеграл.

 

31. Задачи, приводящие к понятию определенных интегралов. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойcтва определенного интеграла.

32. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Нью­тона — Лейбница.

33. Вычисление определенного интеграла: интегрирование по час­тям и подстановкой. Приближенное вычисление определенного интегра­ла: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.

34. Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей враще­ния. Физические приложения определенного интеграла.

35. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несоб­ственные интегралы от неограниченных функций, основные свойства. Абсолютная и условная сходимости. Признаки сходимости.