Тема 7. Неопределённый интеграл.

Пискунов, гл X, § 1-14, упр. 1-214.

Данко, гл IX, § 1-5.

 

7.1 Определение неопределённого интеграла.

Непосредственное интегрирование.

Определение 1. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x),

если F´ (x)=f (x) и dF (x)= f (x)dx.

Если функция f (x) имеет первообразную F (x), то она имеет бесчисленное множество первообразных вида F (x)+С, где C- постоянная.

 

Определение 2. Неопределённым интегралом от функции f (x) или от выражения

f (x)dx называется совокупность всех её первообразных.

Обозначение:

Знак - знак интеграла

f (x)- подынтегральная функция

f (x)dx- подынтегральное выражение

x- переменная величина (аргумент функции)

F (x)- первообразная

F(x)+С –совокупность первообразных.

Отыскание неопределённого интеграла называется интегрированием функции.

 

Таблица неопределённых интегралов.

 

1.

 

2.

 

3.

 

4. 5.

 

6. 7.

 

8.

 

9.

 

10.

 

 

11. 12.

 

 

13. 14.

 

 

15. .

 

Свойства дифференциалов.

1. , с- const

2. Например:

 

Под непосредственным интегрированием понимается сведение подынтегрального выражения к табличному виду путём использования тождественных преобразований, таблицы и свойств неопределённых интегралов и дифференциалов.

 

Например: Найти

Решение: Возведём двучлен во вторую степень и запишем каждое слагаемое в виде степени, затем, произведя почленное деление и, применив соответствующие формулы таблицы, получим:

 

7.2 Способы интегрирования.

1. Подведение под знак дифференциала:

 

1. Интегрирование по частям:

 

Классы функций, интегрируемых по частям:

 

a).

 

б).

 

в).

или или U= cosbx

 

3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие:

 

 

4. Интегралы вида

 

 

-универсальная подстановка;

 

 

Для частных случаев:

 

а) формулы понижения порядка:

 

б) Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

 

 

5. Интегралы вида и

 

Подстановка

В частности:

 

для применяется формула

 

для -формула

 

6. Интегрирование иррациональностей.

 

а) подстановка

 

 

б) подстановка

 

в) Тригонометрические подстановки:

 

 

 

 

 

Например:

1) решается способом интегрирования по частям.

 

2) решается способом подведения функции под знак дифференциала.

3) - решается методом подстановки x=sint.

Примеры 1-3 решить самостоятельно.

 

Примеры решения задач.

 

№1 Найти

Решение. Данный интеграл не является табличным. Умножив на и на (3) одновременно подинтегральное выражение, получим:

 

d3x

 

№ 2. Найти интеграл:

 

Решение. Используем интегрирование по частям, т.е используем формулу:

 

 

Имеем:

 

№ 3. Найти интеграл:

Решение: Используем подстановку, чтобы сделать подынтегральное выражение рациональным (без корня).

Итак,

 

Тогда Jпримет вид:

 

 

Использованы операции:

 

1. Замена

2.Вынесен постоянный множитель 2.

3.Умножим и разделим на (-1).

4.В числителе подынтегральной дроби прибавили (+1) и (-1).

5.Использовано свойство:

6.Применили табличные формулы:

 

.

7. Замена переменной по формуле (из подстановки)

 

 

 

7.3 Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение первообразной функции неопределённого интеграла. Приведите примеры.

2. Сформулировать свойства неопределённого интеграла.

3. В чём заключается геометрический смысл неопределённого интеграла?

4. Назовите основные методы интегрирования.

 

5. Решите: методом подстановки.

6. Примените формулу интегрирования по частям к интегралу:

7. Объяснить, почему ∫x²cosx³dx решается способом подведения функции под знак дифференциала. Можно ли решить этот интеграл методом подстановки?