Тема 8. Определённыйинтеграл по отрезку.

Определение: Определённым интегралом по отрезку [a;b]от функции f(x) называется предел интегральной суммы , если этот предел существует и не зависит ни от деления отрезка [a;b]на части, ни от выбора точек t внутри каждой из частей при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков (∆x_i) стремится к нулю, т.е

 

 

Числа a,bназываются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, т.е [a;b]-отрезок интегрирования.

 

Свойства определённого интеграла по [a;b].

 

1.

 

2.

 

3.

 

 

4.

 

5. С- постоянная

 

Правила вычисления определённого интеграла по [a;b]

1. - формула Ньютона-Лейбница, где F(x)- первообразная

 

2. - интегрирование по частям.

 

3. , где x=j(t) функция непрерывная вместе со своей производной

на [a;b]

Например: Найти значение определённого интеграла

 

Решение:

 

Решаем методом подстановки

x		e
t

Положим

 

 

Тогда

 

8.1 Несобственные интегралы.

К несобственным интегралам относятся:

 

1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования вида:

 

 

1. Интегралы от разрывных функций (от неограниченных функций).

 

Пример 1. - несобственный интеграл 2) типа, т.к на отрезке [-2;9]функция терпит бесконечный разрыв в точке x=0.

 

Пример 2. Вычислить

 

Решение

 

Пример 3. Вычислить

 

Решение:

Т.к - чётная функция.

 

Тогда

Замечание. Если предел несобственного интеграла существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся.

 

Если же предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.

 

8.2 Приложения определённого интеграла по [a;b]

 

1. -площадь криволинейной трапеции, где y=f(x)- кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, aABb- криволинейная трапеция.

 

 

 

 

2. - площадь криволинейной трапеции, если кривая задана

параметрически:

3. - площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах, где r= r(a) - уравнение кривой.

 

1. вычисление длины дуги кривой y=f(x) на [a;b]

 

 

5. Вычисления объёма тела вращения.

 

Если криволинейная трапеция вращается вокруг оси OX, то объём тела вращения вычисляется по формуле:

 

 

 

6. Статические моменты и моменты инерции дуги плоской кривой y=f(x), (a £ x £ b) вычисляются по формулам (соответственно):

 

 

где - дифференциал дуги кривой y=f(x)

 

7. Координаты центра тяжести однородной дуги плоской кривой y=f(x) (a £ x £ b)

выражаются формулами:

где L-длина дуги.

 

Примеры решения задач.

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=4x-x² и осью ОХ.

 

Решение:

 

 

	x

 

Решая систему, найдём точки пересечения: x=0; x=4.

Фигура OABO- криволинейная трапеция.

 

Значит, (кв. ед)

 

Задача 2. Найти длину дуги кривой y²=x³ от x=0 до x=1, (y ³ 0).

 

Решение:

Дифференцируем уравнение кривой

Имеем: (ед.)

 

Задача 3. Найти статический момент и момент инерции полуокружности

(-r £ x £ r) относительно оси OX.

 

Решение.

1.

 

 

2.

Введём подстановку

. Если x=0, то t=0, если x=r, то .

 

Следовательно

Задача 4. Найти площадь, заключённую внутри лемнискаты Бернулли

 

Решение: В силу симметрии достаточно вычислить одну четверть искомой площади, а затем учетверить результат.

 

 

 

 

По формуле имеем

Отсюда S=a²

 

8.3 Вопросы для самопроверки.

1. Запишите формулу интегральной суммы функции f(x) на [a;b].
2. Сформулируйте определение определённого интеграла по [a;b]
3. Каков геометрический смысл

4. По какой формуле вычисляется Приведите примеры.

 

5. Дайте определение несобственного интеграла.

 

6. Является ли несобственными?

7. Геометрический смысл несобственных интегралов.

 

8. В каких задачах используются определённые интегралы по отрезку [a;b] в геометрии?

В механике?