Редакционно-издательским Советом ТГСХА в качестве

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Программа, методические указания и задания

для контрольных работ № 1,2 для студентов-заочников первого курса инженерных специальностей ТГСХА.

Часть I

 

Тюмень, 2008

Утверждено

Редакционно-издательским Советом ТГСХА в качестве

методических указаний

 

 

Программа, методические указания и задания для выполнения контрольных работы для студентов заочной формы обучения составлены в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины «Математика»

 

Составители: доцент кафедры математики Дьячкова Л.И.

старший преподаватель кафедры математики Пинаева Г.М.

старший преподаватель кафедры математики Антропов В.А.

 

Научный редактор

Столярова О.А., ст. преподаватель

 

 

Обсуждено

на заседании кафедры математики

Протокол № 2 от «15» ноября 2004 г.

 

Одобрено

научно-методическим советом

института экономики и финансов.

Протокол № 7 от «19» марта 2004 г.

Содержание:

 

Программа курса высшей математики…………………………………стр.4

 

Методика самостоятельной работы студента………………………….стр.8

 

Таблица вариантов контрольных работ………………………………..стр.9

 

Указания к выполнению контрольной работы № 1………………….стр.10

 

Контрольная работа №1………………………………………………..стр.38

 

Указания к выполнению контрольной работы № 2…………………..стр.44

 

Контрольная работа № 2……………………………………………..…стр.72

 

Рабочая программа курса.

«Высшая математика» для инженерно-технических специальностей.

 

Содержание программы.

 

I. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

 

1. Трехмерное пространство R³. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейно-независимые системы векторов. Базис.

2. Скалярное произведение в R³ и его свойства. Длина вектора. Угол между двумя векторами. Ортогональный базис. Разложение вектора по базису.

3. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алге­браические дополнения и миноры. Определители n-го порядка. Вектор­ное произведение и его свойства. Смешанное произведение.

4. Уравнение плоскости в R³ (векторная и координатная формы). Уравнения прямой в R² и R³ (векторная и координатная формы).

5. Системы двух и трех линейных уравнений с двумя и тремя не­известными. Правило Крамера. Системы т линейных уравнений с п неизвестными. Метод Гаусса-Жордана.

6. Матрицы. Действия над матрицами, обратная матрица. Матрич­ная запись системы линейных уравнений и ее решения. Пространство Rⁿ. Линейная зависимость и независимость векторов в Rⁿ. Ранг матри­цы, его вычисление. Исследование системы линейных уравнений. Теоре­ма Кронекера-Капелли.

7. Понятие о линейном операторе как о линейном преобразовании пространства. Линейные операторы и их матрицы в R ² и R³. Собствен­ные векторы и собственные значения линейных операторов.

8. Квадратичные формы. Приведенные к каноническому виду. Геометрические приложения квадратичных форм в пространствах R² и R³.

9. Общее уравнение кривых второго порядка. Канонические формы уравнений эллипса, гиперболы и параболы. Геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы.

10. Поверхности второго порядка, Канонические формы уравнений. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений.

 

IV. Исследование функций с помощью производных

 

27. Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Необходимые условия экстремума. Достаточные признаки существо­вания экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.

28. Исследование функции на экстремум с помощью производных высшего порядка. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций.

 

V. Неопределенный интеграл.

 

29. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таб­лица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирова­ние по частям и подстановкой.

30. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование выражений, содержащих тригоно­метрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Использование таблиц интегралов.

VI. Определенный интеграл.

 

31. Задачи, приводящие к понятию определенных интегралов. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойcтва определенного интеграла.

32. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Нью­тона — Лейбница.

33. Вычисление определенного интеграла: интегрирование по час­тям и подстановкой. Приближенное вычисление определенного интегра­ла: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.

34. Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей враще­ния. Физические приложения определенного интеграла.

35. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несоб­ственные интегралы от неограниченных функций, основные свойства. Абсолютная и условная сходимости. Признаки сходимости.

 

VIII. Кратные интегралы.

42. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла. Двойные и тройные интегралы, их основные свойства. Представление об инте­гралах любой кратности.

43. Вычисление двойных и тройных интегралов в декартовых коор­динатах.

44. Замена переменных в кратных интегралах. Переход от декартовых координат к полярным, цилиндрическим и сферическим коорди­натам.

45. Применение кратных интегралов для вычисления объемов и площадей, для решения задач механики и физики.

 

Таблица заданий для контрольных работ №1 и №2.

Номер варианта	Номер задач для контрольных работ
Работа №1	Работа №2
	1 11 21 31 41 51 61 71 81	91 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191 201
	2 12 22 32 42 52 62 72 82	92 102 112 122 132 142 152 162 172 182 192 202
	3 13 23 33 43 53 63 73 83	93 103 113 123 133 143 153 163 173 183 193 203
	4 14 24 34 44 54 64 74 84	94 104 114 124 134 144 154 164 174 184 194 204
	5 15 25 35 45 55 65 75 85	95 105 115 125 135 145 155 165 175 185 195 205
	6 16 26 36 46 56 66 76 86	96 106 116 126 136 146 156 166 176 186 196 206
	7 17 27 37 47 57 67 77 87	97 107 117 127 137 147 157 167 177 187 197 207
	8 18 28 38 48 58 68 78 88	98 108 118 128 138 148 158 168 178 188 198 208
	9 19 29 39 49 59 69 79 89	99 109 119 129 139 149 159 169 179 189 199 209
	10 20 30 40 50 60 70 80 90	100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210

 

 

Решение

 

~ ~

 

(первую строку умножаем на (-2) и на (-3) и складываем последовательно со второй и третьей строкой соответственно)

~ ~

 

(умножаем элементы второй строки на (-8) и складываем с 3-ей строкой).

Имеем систему

Из этой системы имеем z =0 (из последней строки), y= -3 (из 2-ой строки), x=2 (из 1-ой строки).

 

Вопросы для самопроверки

1. В чём суть правила Крамера?
2. Понятие определителя 2-го, 3-го… порядков.
3. Каковы условия единственности решения системы?
4. Изложить два способа вычисления определителя 3-го порядка.
5. Как решить систему уравнений методом Гаусса?

 

 

Понятие предела

Определение. Число а называется пределом функции y =f(x) в т. если для любого сколько угодно малого наперёд заданного ε>0 найдётся такое δ>0 (δ=δ(ε)), что выполняется неравенство <e при <

Этот факт записывается так:

Если , то говорят, что функция имеет пределом число a на бесконечности (x→∞).

Если , то функцию называют бесконечно большой величиной в окрестности т. .

Если , то f(x)- бесконечно большая величина на бесконечности (x→∞).

 

Если , то - бесконечно малая функция (величина) в окрестности т. X₀.

 

Если , то - бесконечно малая величина на бесконечности (x→∞).

 

При вычислении пределов используются теоремы о пределах, а также 1-ый замечательный предел

второй замечательный предел , а также формулы ,

 

4.2 Способы раскрытия неопределённостей вида и .

 

I. Если то можно использовать три способа раскрытия этой неопределённости.

1-ый способ. Разложить и числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократить на общий множитель.

 

Пример

 

Ответ: где 2- предельное значение аргумента, (-1) -

 

предельное значение функции y.

 

2-ой способ. Использовать правило Лопиталя, т.е использовать равенство:

 

 

Пример:

3-ий способ. Применить таблицу эквивалентности бесконечно малых.

 

Таблица.

 

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

Пример: Найти

 

Решение.

II. Если то можно использовать три способа раскрытия этой неопределённости.

1-ый способ. Использовать правило Лопиталя.

 

Пример. Найти

 

Решение:

2-ой способ. Разделить все слагаемые числителя и все слагаемые знаменателя на старшую переменную дроби.

Пример. Найти [ -бесконечно малые величины ]=

Ответ:

 

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение функции, области определения. Приведите примеры.

2. Сформулируйте определение предела функции в точке.

3. Какая переменная величина называется бесконечно малой? Бесконечно большой в точке и на бесконечности

4. Что означают выражения: где C-const?

5. Приведите пример бесконечно малой функции в т. x=2 и бесконечно большой функции в этой же точке (аналитический и графический).

6. Каким свойством обладает приращение аргумента и приращение функции, если функция непрерывна в точке x₀ ?

 

Таблица дифференциалов и производных основных элементарных функций

Элементарные функции	дифференциал	производная
1. Степенная функция
2. Линейная функция a,b-постоянные y=x.
3.Тригонометрич. функции y=sin x   y=cos x   y=tg x   y=ctg x
4. Показательная функция , a -число
5. Логарифмическая функция y=ln x
6. Иррациональная функция

 

7. Обратно тригонометричес- кие функции y= arcsin x   y=arcos x     y= arctg x   y=arcctg x
8. y=c c-const	d(c)=0·dx

Примеры решения задач

Задача 1. Найти производные или следующих функций:

а)

б)

в)

г)

 

Решение:

а) Пользуясь правилом логарифмиро­вания корня и дроби, преобразуем правую часть:

Применяя правила и формулы дифференцирования, получим:

 

б) Предварительно прологарифмируем по основанию е обе части равенства:

Теперь дифференцируем обе части, считая сложной функцией от переменной х:

откуда

в) В данном случае зависимость между аргументом х и функцией у задана уравнением, которое не разре­шено относительно функции у. Чтобы найти производ­ную у', следует дифференцировать по х обе части задан­ного уравнения, считая при этом у функцией от х, а за­тем полученное уравнение решить относительно искомой производной у'. Имеем

Из полученного равенства, связывающего х, у, и у',

находим производную у':

 

откуда

 

г) Зависимость между переменными х и у задана па­раметрическими уравнениями. Чтобы найти искомую производную у', находим предварительно дифференци­алы dy и dx и затем берем отношение этих дифферен­циалов

Задача 2. Найти производную второго порядка

а)

б)

Решение: а) Функция у задана в неявном виде. Дифференцируем по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х:

(1)

откуда

 

Снова дифференцируем по х обе части (1):

(2)

Заменив у' в (2) правой частью (1), получим:

б) Зависимость между переменными xи у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти произ­водную у', находим сперва дифференциалы dy и dx и за­тем берем отношение этих дифференциалов:

Тогда

Производная второго порядка . Следователь­но, чтобы найти у", надо найти дифференциал dy':

Тогда

 

Задача 3. Найти приближенное значение функции при исходя из ее точного зна­чения при

Решение: Известно, что дифференциал dy функ­ции представляет собой главную часть прира­щения этой функции .Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то приращение при­ближенно равно дифференциалу, т. е. . Так как , а то имеет место при­ближенное равенство:

Пусть , т. е.

 

Тогда

 

(1)

или

Приближенное равенство (1) дает возможность найти значение функции при , если известно значение функции и ее производной при Прежде чем воспользоваться приближенным равен­ством (1), находим числовое значение производной f'(x) при х= 6:

или

Применяя (1), получаем

Вопросы для самопроверки

1. Сформулировать определение производной.

2. Каков геометрический смысл производной?

3. Как составить уравнение касательной?

4. Каков геометрический и механический смысл производной?

5. Как найти производную неявной функции? Параметрической функции?

6. Функция непрерывна в т. x_0. Следует ли отсюда дифференцируемость функции?

7. В чём заключается геометрический смысл дифференциала функции?

8. Записать формулу, используемую в приближённых вычислениях. Найти приближённое значение

 

 

План исследования функции и построения графика

1.Найти область определения функции. Решение этого вопроса указывает на те интервалы оси (ОХ), над которыми пройдёт график и на те значения аргумента x, над которыми график не пройдёт, а также в каких точках пройдут вертикальные асимптоты.

2.Исследовать на чётность, нечётность. Решение этого вопроса облегчает построение.

3.Указать промежутки монотонности функции и найти экстремумы её, точки экстремумов. Построить соответствующие точки на координатной плоскости.

4.Указать точки перегиба графика функции и нанести их на координатную плоскость. Указать промежутки выпуклости, вогнутости.

5.Найти уравнения вертикальных и наклонных асимптот, используя условия для существования этих асимптот. Построить эти линии на координатной плоскости.

6.Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Нанести их на плоскость.

7.Исследовать поведение функции на концах области определения. Это поможет при построении графика.

8.Можно взять несколько контрольных точек, в случае уточнения поведения графика.

9.Построить график.

 

Задача 1. Исследовать функцию у = 1п(х² — 6х +10) и построить ее график.

 

Решение:

1. Определим область существования функции. Квадратный трехчлен, стоящий под знаком ло­гарифма, можно представить так: х²— 6x+10=(x-3)² + 1. Как видно, под знаком логарифма будет положи­тельное число при любом значении аргумента х. Следо­вательно, областью существования данной функции слу­жит вся числовая ось.

2. Исследуем функцию на непрерывность. Функция всюду непрерывна и не имеет точек разрыва.

3. Установим четность и нечетность функции. Так как у(-х)¹у(х) и у(- х)¹ - у(х), то функция не яв­ляется ни четной, ни нечетной.

4. Исследуем функцию на экстремум. Находим пер­вую производную:

 

Знаменатель х²- 6x+10>0 для любого значения х. Как видно, при х < 3 первая производная отрицательна, а при х > 3 положительна. При х = 3 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс. В этой точке функ­ция имеет минимум:

Итак, A(3; 0) - точка минимума. Функция убывает на интервале (- ¥, 3) и возрастает на интервале (3, + ¥).

5. Определим точки перегиба графика функции и интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Для этого находим вторую производную:

Разобьем всю числовую ось на три интервала: (- ¥, 2), (2, 4), (4, + ¥). Как видно, в первом и третьем интерва­лах вторая производная отрицательна, а во втором ин­тервале положительна. При x₁ = 2 и х₂ = 4 вторая произ­водная меняет свой знак. Эти значения аргумента явля­ются абсциссами точек перегиба. Определим ординаты этих точек:

Следовательно, P₁ (2; ln 2) и P₂(4; ln 2) — точки перегиба графика функции. График является выпуклым в интерва­лах (- ¥, 2) и (4, +¥) и вогнутым в интервале (2, 4).

6. Определим уравнения асимптот графика функции. Для определения уравнения асимптоты y=kx+b вос­пользуемся формулами:

Имеем

Чтобы найти искомый предел, дважды применяем правило Лопиталя:

Итак, кривая не имеет асимптот.

 

Вопросы для самопроверки.

1. Сформулируйте признаки возрастания (убывания) функции. Приведите примеры.

2. Дайте определение экстремума функции.

3. Как найти максимум, минимум функции (два правила)?

4. Приведите пример, когда обращение производной в нуль не является достаточным условием экстремума функции.

5. Как найти интервалы выпуклости (вогнутости) функции? Примеры.

Контрольная работа № 1.

 

В ЗАДАЧАХ 1 –10 решить заданную систему уравнений, пользуясь формулами Крамера. Сделать проверку полученного решения.

1. 5x +8y-z= -7, 2. x+2y +z=4,

x+2y+3z =1, 3x-5y+3z =1,

2x-3y +2z=9. 2x +7y- z=8.

3. 3x+2y + z= 5, 4. x+2y+4z=31,

2x+3y+ z =1, 5x+ y+ 2z=29,

2x + y+3z =11. 3x –y+ z=10.

5. 4x-3y +2z=9, 6. 2x-y- z =4,

2x+5y-3z=4, 3x+4y-2z=11,

5x+6y-2z=18. 3x-2y+4z =11.

7. x+ y+2z = -1, 8. 3x-y =5,

2x-y+2z= -4, -2x+ y+ z =0,

4x+ y+ 4z= -2. 2x- y+ 4z=15.

 

9. 3x –y+ z =4, 10. x+y +z =2,

2x- 5y –3z= -17, 2x- y – 6z= -1,

x + y- z= 0. 3x – 2y = 8.

 

В ЗАДАЧАХ 11-20 даны координаты вершин треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны AB; 2) уравнения сторон AB и BC и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол B в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение медианы AE; 5) уравнение и длину высоты CD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку E параллельно стороне AB.

 

11. A (1;-1), B (4;3), C (5;1). 12. A (0;-1), B(3,3), C(4;1).

13. A(1;-2) B (4;2), C (5;0). 14. A (2;-2), B (5;2), C (6;0).

15. A(0;0), B (3;4), C (4;2). 16. A (0;1), B (3;5), C (4;3).

17. A(3;-2), B (6;2), C (7;0). 18. A (3;-3), B (6;1), C (7;-1).

19. A (-1;1), B (2;5), C (3;3) 20. A (4;0), B(7;4), C (8;2).

 

 

В ЗАДАЧАХ 21-30 даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется:

1. записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов;

2. найти угол между векторами

3. найти проекцию вектора на вектор

4. найти площадь грани ABC;

5. найти объём пирамиды ABCD;

 

21. A (1;2;1), B (-1;5;1), C (-1;2;7), D (1;5;9).

22. A (2;3;2), B (0;6;2), C (0;3;8), D (2;6;10).

23. A (0;3;2), B (-2;6;2), C (-2;3;8), D (0;6;10).

24. A (2;1;2), B (0;4;2), C (0;1;8), D (2;4;10).

25. A (2;3;0), B (0;6;0), C (0;3;6), D (2;6;8).

26. A (2;2;1), B (0;5;1), C (0;2;7), D (2;5;9).

27. A (1;3;1), B (-1;6;1), C (-1;3;7), D (1;6;9).

28. A (1;2;2), B (-1;5;2), C (-1;2;8), D (1;5;10).

29. A (2;3;1), B (0;6;1), C (0;3;7), D (2;6;9).

30. A (2;2;2), B (0;5;2), C (0;2;8), D (2;5;10).

 

В ЗАДАЧАХ 31-40 найти указанные пределы.

 

31. 1) а) x₀=2; б) x₀= -1; в) x₀= ¥

 

2)

 

32. 1) a) x₀= -1; б) x₀=1; в) x₀=¥.

 

2)

 

33. 1) а) x₀=2; б) x₀=-2; в) x₀=¥.

 

2)

 

34. 1) а) x₀=1; б) x₀=2; в) x₀=¥.

 

2)

 

35. 1) а) x₀= -2; б) x₀= -1; в)= ¥.

 

2)

 

36. 1) а) x₀=-1; б) x₀=1; в) x₀=¥.

 

2)

 

37. 1) a) x₀=2; б) x₀=-2; в) x₀= ¥

 

2)

 

38. 1) a) x₀=1; б) x₀=2; в) x₀=¥.

 

2)

 

39. 1) а) x₀= -2; б) x₀= -1; в) x₀=¥.

 

2)

 

40. 1) a) x₀= -1; б) x₀=1; в) x₀= ¥.

 

2)

 

 

В ЗАДАЧАХ 41-50 найти производные пользуясь правилами и формулами дифференцирования.

 

41. а) б)

 

в) г)

 

42. а) б)

 

в) г)

 

43. а) б)

 

в) г)

 

44. а) б)

 

в) г)

 

45. а) б)

 

в) г)

 

46. а) б)

 

в) г)

 

47. а) б)

 

в) г)

 

48. а) б)

 

в) г)

 

49. а) б)

 

в) г)

 

50. а) б)

 

в) г)

 

В ЗАДАЧАХ 51-60 1). исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и начертить их графики. 2). Для функции из пункта а) найти дополнительно наибольшее и наименьшее значения на отрезке [a;b].

51. a) a= -1; b= 3;

 

б)

 

52. а) a= -1; b=2;

 

б)

 

53. а) a=2, b=4;

 

б)

 

54. а) a= -1, b=2;

 

б)

 

55. a) a=0, b=4;

 

б)

 

56. а) a=-2, b=3;

 

б)

 

57. а) a=-3, b=0;

 

б)

 

58. а) a= -3, b=1;

 

б)

 

59. а) a=1, b=4;

 

б)

 

60. а) a= -1, b=4;

 

б)

 

 

Решить ЗАДАЧИ 61-70 используя понятие экстремума функции.

 

61. Каковы должны быть размеры прямоугольника наибольшей площади, вписанного в круг радиуса 6 см?

62. Проволока длиной 40 см согнута в прямоугольник. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы площадь его была наибольшей?

63. Найти наибольший объем цилиндра, у которого полная поверхность равна S=24p (м²)

64. Найти наибольший объем конуса, образующая которого равна (м).

64. Объем правильной треугольной призмы равен V= 16 (м³). Какова должна быть длина стороны основания призмы, чтобы ее полная поверхность была наименьшей?

65. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72 (см³), п