Системы двух уравнений 1-ой степени с двумя переменными. Определители 2-го порядка

 

Пусть требуется решить систему

(1)

После исключения переменной y из уравнений получим (2).

 

После исключения переменной x из уравнений получим (3)

Если знаменатель , то система (1) имеет единственное решение, которое находится по формулам (2),(3).

Если принять обозначения:

, то решение системы примет вид: , (4)

 

, где - определители системы, - главный определитель.

Определитель- таблица, составленная из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы (1).

Определитель, имеющий две строки и два столбца называется определителем 2-го порядка. Формулы (4) называются формулами Крамера.

Вычисление определителей второго порядка:

(+)

(-)

 

 

Пример: =(-2·3)-(4·(-5))= -6+20=14,

 

 

Вычисление определителей 3-го порядка. Правило треугольников

, т. е

Определитель 3-го порядка равен сумме произведений трёх элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.

 

Пример. = ((-1)·1·(-1)+2·2·3+2·(-3)·3)-(3.1·3+2·2·(-1)+2·(-3)·(-1))= (1+12-18)- (9-4+6)=

= (-5)-11= -16.

 

Разложение определителя по элементам 1-ой строки

=

 

т.е значение определителя равно произведению элементов 1-ой строки на соответствующие определители 2-го порядка, полученные после вычёркивания i -той строки и k -того столбца, на пересечении которых находится соответствующий элемент, причём a₁ берётся со своим знаком, a₂ -c противоположным, a₃ - со своим знаком.

Пример: Вычислить определитель.

-1 2 3

2 1 –3 = -1 -2 +3 = -1·(-1+6)-2(-2+9)+3(4-3)= -1·5-2·7+3·1= -16

3 2 -1

 

Замечание. Разложение можно выполнять по элементам любой строки (столбца).

Задача. Решить систему

Решение: Составим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных и вычислим его:

 

= 1· - (-2) +1· = (-2+6)+2(-4+9)+1(4-3)=4+10+1=15

Составим вспомогательный определитель . Он получается из главного путём замены первого столбца свободными членами.

= 8· +2 +1 = 8(-2+6)+2 (-2-0)+1(2-0)=8·4+2·(-2)+2=30

Составим определитель , путём замены 2-го столбца (в главном определителе) свободными членами.

 

= - 45 Вычислить самостоятельно.

Составим определитель путём замены 3-го столбца (в главном определителе) свободными членами.

= =0 Вычислить самостоятельно.

Тогда по правилам Крамера имеем

, или , ,

Сделать проверку самостоятельно.

Ответ: x=2, y= -3, z =0

 

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

 

Пусть дана система (1)

Гаусс при решении системы использовал метод исключения неизвестных. В результате исходная система приводится к треугольному виду:

 

В этих таблицах, называемых матрицами, должны быть записаны коэффициенты при неизвестных, а после вертикальной черты-свободные члены.

В системе (2) из последнего уравнения находится неизвестное z, из 2-го-другое неизвестное y, из 1-го- первое неизвестное x.

Задача. Решить систему.

Решение

 

~ ~

 

(первую строку умножаем на (-2) и на (-3) и складываем последовательно со второй и третьей строкой соответственно)

~ ~

 

(умножаем элементы второй строки на (-8) и складываем с 3-ей строкой).

Имеем систему

Из этой системы имеем z =0 (из последней строки), y= -3 (из 2-ой строки), x=2 (из 1-ой строки).

 

Вопросы для самопроверки

1. В чём суть правила Крамера?
2. Понятие определителя 2-го, 3-го… порядков.
3. Каковы условия единственности решения системы?
4. Изложить два способа вычисления определителя 3-го порядка.
5. Как решить систему уравнений методом Гаусса?