Тема 3. Основы векторной алгебры

Ефимов, гл. 7,8

Клетенник, гл. 8,9; Данко, гл. 2.

 

3.1 Операции над векторами

1. - направленный отрезок.

1. Сложение векторов.

 

 

 

+

или

+

 

1. Вычитание векторов.

-

- или

1. Умножение вектора на число.

 

3

Þ | | |

-3

Þ | | |

 

1. Скалярное произведение.

 

 

1) · = )

2) · =P, P- число

3) =

4) =

Свойства:

1). · = -скалярное произведение векторов, заданных координатами.

2). cos j= (проекция вектора на ). Поэтому

· = cos j= =

3). = , = , где =

4). · =0, если ^

5). = или -условие коллинеарности векторов.

 

6). Угол между векторами:

, - условие перпендикулярности двух векторов.

7). · = ·

8). ·

9).

 

1. Векторное произведение

 

удовлетворяет условиям:

 

 

1). и

2).

3). -образуют такую же ориентацию как

 

Свойства:

1). =

2). , где

3).

4). Если то

5).

6). Если , то

7.) - площадь параллелограмма.

-площадь треугольника.

8).

9).

 

1. Смешанное произведение

1). -форма записи смешанного произведения.

2). =

3). Если -компланарны, то

4). , если

5).

 

 

Д₁ С₁

 

М A₁

В1

Д С

А В

 

 

, где V-объём параллелепипеда.

 

3. 2 Примеры решения задач

Задача 5. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: А (2; 1; 0), B (3; -1; 2), С (13; 3; 10), D (0; 1; 4). Требуется: 1) записать векторы и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и ; 3) найти проекцию вектора на вектор ; 4) найти площадь грани ABC; 5) най­ти объем пирамиды ABCD.

 

Решение. I. Произвольный вектор а может быть представлен в системе орт i, j, k следующей формулой;

(1)

где а_х, а_у, а_г — проекции вектора а на координатные оси Ох, Оу и Oz, а — единичные векторы, направле­ния которых совпадают с положительным направлением осей Ох, Оу и Oz. Если даны точки и то проекции вектора на координатные оси находятся по формулам:

 

(2)

Тогда

(3)

 

Подставив в (3) координаты точек A и В, получим вектор

 

 

Аналогично, подставляя в (3) координаты точек А и С, находим

 

Подставив в (3) координаты точек А и D, находим век­тор :

 

Если вектор задан формулой (1), то его модуль вы­числяется по формуле

 

(4)

 

Применяя (4), получим модули найденных векторов:

 

,

 

2. Косинус угла между двумя векторами равен ска­лярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей. Находим скалярное произведение векторов и :

 

 

Модули этих векторов уже найдены: , Следовательно,

¢.

 

3. Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора :

 

 

4. Площадь грани ABC равна половине площади па­раллелограмма, построенного на векторах и . Обозначим векторное произведение вектора на век­тор через вектор . Тогда, как известно, модуль вектора выражает собой площадь параллелограмма, построенного на векторах и , а площадь грани ABC будет равна половине модуля вектора :

_

 

кв. ед.

5. Объем параллелепипеда, построенного на трех не­компланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения. Вычислим смешанное произ­ведение

Следовательно, объем параллелепипеда равен 144 куб. ед., а объем заданной пирамиды ABCD равен 24 куб. ед.

 

3. 3 Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение вектора.
2. Какие векторы называются равными?
3. Геометрическое и аналитическое толкование координат вектора.
4. Запишите модуль вектора между координатами.
5. Как выполняется сложение, вычитание, умножение вектора на число геометрически (рисунком) и аналитически (формулой).
6. Дайте определение базису пространства.
7. Запишите скалярное произведение двух векторов в векторной форме и между координатами перемножаемых векторов. То же для векторного и смешанного произведения.
8. Условия коллинеарности и компланарности векторов в векторной и координатной форме.

 

Тема 4. Введение в анализ.

Пискунов, гл 1, § 1-9, упр 1-9, 39, 40

Гл 2, § 1-5, упр 1-6, 9-29, § 6-8,

Упр 31-35, 41-48, § 9, 10, упр 57-59

§ 11, упр 60-62.

 

Понятие предела

Определение. Число а называется пределом функции y =f(x) в т. если для любого сколько угодно малого наперёд заданного ε>0 найдётся такое δ>0 (δ=δ(ε)), что выполняется неравенство <e при <

Этот факт записывается так:

Если , то говорят, что функция имеет пределом число a на бесконечности (x→∞).

Если , то функцию называют бесконечно большой величиной в окрестности т. .

Если , то f(x)- бесконечно большая величина на бесконечности (x→∞).

 

Если , то - бесконечно малая функция (величина) в окрестности т. X₀.

 

Если , то - бесконечно малая величина на бесконечности (x→∞).

 

При вычислении пределов используются теоремы о пределах, а также 1-ый замечательный предел

второй замечательный предел , а также формулы ,

 

4.2 Способы раскрытия неопределённостей вида и .

 

I. Если то можно использовать три способа раскрытия этой неопределённости.

1-ый способ. Разложить и числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократить на общий множитель.

 

Пример

 

Ответ: где 2- предельное значение аргумента, (-1) -

 

предельное значение функции y.

 

2-ой способ. Использовать правило Лопиталя, т.е использовать равенство:

 

 

Пример:

3-ий способ. Применить таблицу эквивалентности бесконечно малых.

 

Таблица.

 

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

Пример: Найти

 

Решение.

II. Если то можно использовать три способа раскрытия этой неопределённости.

1-ый способ. Использовать правило Лопиталя.

 

Пример. Найти

 

Решение:

2-ой способ. Разделить все слагаемые числителя и все слагаемые знаменателя на старшую переменную дроби.

Пример. Найти [ -бесконечно малые величины ]=

Ответ: