Тема 2. Элементы аналитической геометрии на плоскости

Ефимов, гл 1-3, 4-6

Данко, гл. 1, §1-5.

 

2.1 Основные формулы аналитической геометрии

1. - длина отрезка между точками и

2. ; - координаты точки деления отрезка в данном отношении.

 

| | | | |

 

-отношение величины отрезка от начала отрезка т. M₁ до делящей т. C к величине отрезка от делящей точки C до конца отрезка M₂ .

3. - уравнение прямой линии с угловым коэффициентом.

- угловой коэффициент прямой.

- тангенс угла между двумя прямыми.

-угол между двумя прямыми.

- условие | | двух прямых.

- условие ^ двух прямых.

y y

 

 

b

x x 0 0

 

 

рис 1. рис 2.

 

4. - уравнение пучка прямых.

 

y

- центр пучка.

M₀

 

 

х

 

рис 3.

5. - уравнение прямой, проходящей через две точки и

6. - уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору +

 

y

 

 

x

 

рис 4.

 

7. - уравнение прямой, проходящей через т. , перпендикулярно вектору .

y

 

 

x

 

М₀

 

 

рис. 5

 

8. - общее уравнение прямой- уравнение первой степени с двумя неизвестными.

9. - уравнение в отрезках на осях.

 

 

y

 

 

b

 

0 a x

 

рис. 6

 

10. параметрические уравнения прямой.

ß

, t- переменный параметр.

11. - уравнение окружности с центром в т. O (0;0) и радиусом r. (рис. 7)

 

 

 

 

рис. 7

 

- уравнение окружности со смещённым центром . (рис. 8)

12. Каноническое уравнение эллипса.

 

 

 

- уравнение эллипса с центром в начале координат.

 

- уравнение эллипса со смещённым центром в т. O₁(x₀,y₀).

 

 

13. Каноническое уравнение гиперболы.

 

 

- каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат.

- уравнение гиперболы со смещённым центром O₁ (x₀, y₀).

 

14. Каноническое уравнение параболы.

 

 

 

- каноническое уравнение параболы с вершиной в т. O (0,0).

- уравнение директрисы.

- уравнение параболы со смещённой вершиной в т. O₁ (x₀,y₀)

 

2.2 Примеры решения задач

Задача 1. Даны координаты вершин треугольника А ВС: А (4; 3), В (16; - 6), С (20; 16). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пере­сечения этой медианы с высотой CD; 6) уравнение пря­мой, проходящей через точку Кпараллельно стороне АВ; 7) координаты точки М, расположенной симметрич­но точке А относительно прямой CD.

 

Решение. 1. Расстояние d между точками А (x₁; y₁) и В (х₂; y₂) определяется по формуле:

 

(1)

 

Применяя (1), находим длину стороны АВ: =15

 

2. Уравнение прямой, проходящей через точки А(х₁; у₁) и В(х₂; y₂), имеет вид:

(2)

 

Подставляя в (2) координаты точек A и В, получим уравнение стороны АВ:

 

4y-12= -3x+12;

 

3x+4y-24=0 (AB).

Решив последнее уравнение относительно у, находим уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с уг­ловым коэффициентом:

4y= -3x+24; откуда

Подставив в (2) координаты точек В и С, получим уравнение прямой BC:

 

;

 

или y=5,5x-94, откуда k_BC=5,5.

3. Известно, что тангенс угла между двумя прямы­ми, угловые коэффициенты которых соответственно рав­ны k₁ и k₂ вычисляется по формуле:

(3)

Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угло­вые коэффициенты которых найдены: Применяя (3), получим

В=63°26'. или В» 1,11 рад.

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точ­ку в заданном направлении, имеет вид: y—y₁ = k(x—x₁). (4)

Высота CD перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты CD, воспользуемся усло­вием перпендикулярности прямых. Так как, , то . Подставив в (4) координаты точки С и най­денный угловой коэффициент высоты, получим:

Чтобы найти длину высоты CD, определим сперва координаты точки D-~ точки пересечения прямых АВ и CD. Решая совместно систему:

 

, находим x=8, y=0, т.е D(8;0)

По формуле (1) находим длину высоты CD:

 

5. Чтобы найти уравнение медианы АЕ, определим сначала координаты точки Е, которая является середи­ной стороны ВС, применяя формулы деления отрезка на две равные части:

 

Следовательно, E (18;5).

 

Подставив в (2) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы:

 

Чтобы найти координаты точки пересечения высоты CD и медианы АЕ, решим совместно систему уравнений:

x=11, y=4; K (11;4).

 

6. Так как искомая прямая параллельна стороне АВ, то ее угловой коэффициент будет равен угловому коэф­фициенту прямой АВ. Подставив в (4) координаты най­денной точки К и угловой коэффициент по­лучим:

7. Так как прямая АВ перпендикулярна прямой CD, то искомая точка М, расположенная симметрично точ­ке А относительно прямой CD, лежит на прямой АВ. Кроме того, точка D является серединой отрезка AM. Применяя формулы (5), находим координаты искомой точки М:

Треугольник ABC, высота CD, медиана АЕ, прямая KF и точка М построены в системе координат хОу на рис. 1.

 

 

рис. 1

 

Задача 2. Составить уравнение геометрического мес­та точек, отношение расстояний которых до данной точ­ки A (4; 0) и до данной прямой х=1 равно 2.

 

Решение.

(x,y)

рис. 2

В системе координат хОу построим точку A (4;0) и прямую х=1. Пусть М(х; у) —произ­вольная точка искомого геометрического места точек. Опустим перпендикуляр MB на данную прямую х=1 и определим координаты точки В. Так как точка В лежит на заданной прямой, то ее абсцисса равна 1. Ордината точки В равна ординате точки М. Следовательно, В(1,у) (рис. 2).

По условию задачи МА:МВ= 2. Расстояния МА и MB находим по формуле (1) задачи 1:

Возведя в квадрат левую и правую части, получим:

 

или

Полученное уравнение представляет собой гипербо­лу, у которой действительная полуось а=2, а мнимая -

Определим фокусы гиперболы. Для гиперболы вы­полняется равенство Следовательно, с²=4+12=16; с=4; F ₁(— 4; 0), F₂(4; 0) — фокусы гипер­болы. Как видно, заданная точка A(4; 0) является пра­вым фокусом гиперболы.

Определим эксцентриситет полученной гиперболы:

Уравнения асимптот гиперболы имеют вид и

Следовательно, или и — асимптоты гиперболы. Прежде чем постро­ить гиперболу, строим ее асимптоты.

Задача 3. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки A (4; 3) и прямой у=1. Полученное уравнение привести к простейшему виду.

 

Решение.

 

рис. 3

 

Пусть М(х; у) — одна из точек искомого геометрического места точек. Опустим из

точки М пер­пендикуляр MB на данную прямую у=1 (рис. 3). Опре­делим координаты точки В. Очевидно, что абсцисса точ­ки В равна абсциссе точки М, а ордината точки В равна I, т. е. В (х; 1). По условию задачи МА=МВ. Следовательно, для любой точки М(х; у), принадлежащей искомому геометрическому месту точек, справедливо равенство:

 

или

 

Полученное уравнение определяет параболу с верши­ной в точке О¢ (4; 2). Чтобы уравнение параболы при­вести к простейшему виду, положим x- 4=Х и y+2=Y; тогда уравнение параболы принимает вид:

Чтобы построить найденную кривую, перенесем нача­ло координат в точку О' (4; 2), построим новую систему координат XO'Y, оси которой соответственно парал­лельны осям Ох и Оу, и затем в этой новой системе построим параболу (*) (рис. 3).

 

2.3 Вопросы для самопроверки

1. Какое равенство называется уравнением прямой?
2. Как пройдёт прямая линия, если свободный член в этом уравнении равен нулю?
3. Как вычислить угол между двумя прямыми? Каковы условия параллельности и перпендикулярности прямых?
4. Как найти угловой коэффициент прямой, если известны две её точки?
5. Запишите уравнения прямых, совпадающих с осями координат.
6. Дайте определение окружности. Приведите уравнение

к каноническому виду. Назовите центр и радиус данной окружности.

1. Сформулируйте определение эллипса, гиперболы, параболы. Постройте линию в системе координат.
2. Дайте определение эксцентриситета для: а) эллипса, б) гиперболы, в) параболы.