Первый и второй замечательные пределы

1. - первый замечательный предел.

Замечание. При x®0 sin x~ x

Пример 1.

 

Найти

если заменить , т.к , то

 

Заметим,что показатель степени обратен по величине второму слагаемому в основании.

 

Пример. представили основание в виде суммы 1 и некоторой бесконечно малой величины.

Выполненные тождественные преобразования в показателе степени, позволяют выделить 2-ой замечательный предел. (в квадратных скобках)

 

Непрерывность функции. Точки разрыва

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке x₀, если выполняется равенство:

 

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке x₀, если

где соответственно приращение аргумента и приращение функции.

 

Пример. Дана функция

Требуется: 1). Найти точку разрыва данной функции.

2). Найти и

3). Найти скачок функции в точке разрыва.

Решение.

Данная функция определена и непрерывна в

При x=1 функция терпит разрыв, т.к меняется аналитическое выражение функции.

 

y

 

 

 

 

x=1- точка разрыва первого рода.

Скачком функции называется абсолютная величина разности между её правым и левым предельными значениями т.е (ед). –скачок функции.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение функции, области определения. Приведите примеры.

2. Сформулируйте определение предела функции в точке.

3. Какая переменная величина называется бесконечно малой? Бесконечно большой в точке и на бесконечности

4. Что означают выражения: где C-const?

5. Приведите пример бесконечно малой функции в т. x=2 и бесконечно большой функции в этой же точке (аналитический и графический).

6. Каким свойством обладает приращение аргумента и приращение функции, если функция непрерывна в точке x₀ ?

 

Тема 5. Производная и дифференциал функции одного аргумента

 

Пискунов, гл. III, § 1-26, упр 1-220

Гл. IV, § 1-7, упр 1-55.

 

Определение производной, дифференциала

1. Определение. Производной первого порядка от функции по аргументу xназывается предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что , т.е. или

2. , где a- угол наклона касательной к

 

- уравнение касательной, проведённой в т.

 

3. - скорость изменения функции в т. x₀.

 

1. Отыскание производной называется дифференцированием.
2. - дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента.

Геометрически dy представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в заданной точке.

 

6. - дифференциал аргумента равен приращению аргумента.

- дифференциал функции и приращение функции равны лишь приближённо.

 

7. - формула для приближённых вычислений.

Таблица дифференциалов и производных основных элементарных функций

Элементарные функции	дифференциал	производная
1. Степенная функция
2. Линейная функция a,b-постоянные y=x.
3.Тригонометрич. функции y=sin x   y=cos x   y=tg x   y=ctg x
4. Показательная функция , a -число
5. Логарифмическая функция y=ln x
6. Иррациональная функция

 

7. Обратно тригонометричес- кие функции y= arcsin x   y=arcos x     y= arctg x   y=arcctg x
8. y=c c-const	d(c)=0·dx