Бесконечно малые и бесконечно большие функции



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Бесконечно малые и бесконечно большие функции



Определение. Функция a(x) называется бесконечно малой при x ® x0или в точке,если пределa(x)приравен нулю: .

Определение. Функция f(x) называется бесконечно большой в точке , если предел f(x) при x ® x0равен ∞. Это значит, что для любого сколь угодно большого числа M > 0 существует малое число δ = δ(M) > 0 такое, что для любого удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство |f(x)| > M.

Определение. Функция f(x) называется ограниченной на некотором множестве X Ì D(f), если существует такое число M > 0, что для любого x Î X выполняется неравенство |f(x)| < M.

2. Теорема (о связи между бесконечно малой функцией в точке x0 и бесконечно большой функцией в точке x0)

Если функция f(x)является бесконечно большой в точке ,то функция является бесконечно малой в точке .(Верно и обратное утверждение)

Теорема о разложении функции, имеющей предел на постоянную и бесконечно малую функцию.

Теорема. Если функция ƒ(х) имеем предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(х), т. е. если limƒ(х)=А, при Х→Хо то ƒ(х)=А+а(х). т. е. |ƒ(х)-А-0|<ε. Это означает, что функция ƒ(х)-А имеет предел, равный нулю, т. е. является б.м.ф., которую обозначим через α(х): ƒ(х)-А=α(х). Отсюда ƒ(х)=А+α(х).

Теоремы о пределах.

1)

2)

3) , если g(x)≠0 в δ(x0)

4) ;

5)

 

Первый и второй замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные функции.

Первый замечательный предел:

Предел функции в точке существует и равен 1, т.е. .

Второй замечательный предел:

Предел функции при x существует и равен числу e, т.е.

.

Сравнение бесконечно малых функций:

α(x) , β(x) - бесконечно малые функции

Эквивалентные функции:

Эквивалентность α(x)→0; x→a
sin α ~ α tg α ~ α ctg α → 1-cos α ~ arcsin α ~ α
arctg α ~ α arcctg α ~ - α arccos α ~ - α -1 ~ α -1 ~ α lna
ln(1+α) ~ α ~ (1+α)n-1 ~ nα -1 ~ -1 ~

Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва, их классификация. Теоремы о непрерывных функциях.

Непрерывность функции в точке и на промежутке

Определение.Функция f(x) называется непрерывной в точке x0ÎD(f),если она определена в некоторой окрестности точки x0 и предел f(x) в точке x0 равен значению функции в этой точке.

Определение.Функция f(x) называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Точки разрыва функции и их классификация

Определение. Точка x0 называется точкой разрыва функции f(x), если в этой точке функция либо не определена, либо определена, но нарушено хотя бы одно из условий определения 3 непрерывности f(x).

Определение. Точка x0 называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если предел функции в этой точке существует, но f(x) в точке x0 либо не определена, либо имеет значение f(x0), не совпадающее с найденным пределом:

f(x0 – 0) = f(x0 + 0) ¹ f(x0).

Определение. Точка x0 называется точкой разрыва первого рода функции f(x) (разрыв типа «скачка»), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные между собой правый и левый пределы, т.е.

f(x0 – 0) ¹ f(x0 + 0).

Определение. Точка x0 называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке функция не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Теоремы о непрерывных функциях

Теорема. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0 , то функции с×f(x) (c=const), f(x) ± g(x), f(x)×g(x) и (если g(x) ¹ 0) также непрерывны в точке x0.

Теорема. Если функция u = u(x) непрерывна в точке x0 и функция y = f(u) непрерывна в точке u0 = u(x0), то сложная функция y = f(u(x)) непрерывна в точке x0.

Теорема. Все элементарные функции непрерывны в каждой точке области их определения.

5. Производная функции, её механическая интерпретация. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Дифференциал функции, его связь с производной. Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнения касательной и нормали к кривой.

Определение производной, её геометрический и механический смысл

2. Определение 1. Приращением функции называется разность f(x+Dx) – f(x). Приращение функции обозначают Dy, т.е. Dy = f(x+Dx) – f(x).

3. Определение 2. Производной функции называется предел отношения приращения функции Dy к приращению аргумента Dx, если приращение аргумента Dx стремится к нулю и этот предел существует. Производную функции обозначают: или . Поэтому можно записать:

4.



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-18; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.238.173.209 (0.009 с.)