Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение. Функция a(x) называется бесконечно малой при x ® x ₀или в точке ,если пределa(x)при x® равен нулю: .

Определение. Функция f (x) называется бесконечно большой в точке , если предел f (x) при x ® x ₀равен ∞. Это значит, что для любого сколь угодно большого числа M > 0 существует малое число δ = δ(M) > 0 такое, что для любого удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство | f (x)| > M.

Определение. Функция f (x) называется ограниченной на некотором множестве X Ì D (f), если существует такое число M > 0, что для любого x Î X выполняется неравенство | f (x)| < M.

2. Теорема (о связи между бесконечно малой функцией в точке x₀ и бесконечно большой функцией в точке x₀)

Если функция f (x ) является бесконечно большой в точке ,то функция является бесконечно малой в точке . ( Верно и обратное утверждение)

Теорема о разложении функции, имеющей предел на постоянную и бесконечно малую функцию.

Теорема. Если функция ƒ(х) имеем предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(х), т. е. если limƒ(х)=А, при Х→Хо то ƒ(х)=А+а(х). т. е. |ƒ(х)-А-0|<ε. Это означает, что функция ƒ(х)-А имеет предел, равный нулю, т. е. является б.м.ф., которую обозначим через α(х): ƒ(х)-А=α(х). Отсюда ƒ(х)=А+α(х).

Теоремы о пределах.

1)

2)

3) , если g(x)≠0 в δ(x₀)

4) ;

5)

 

Первый и второй замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные функции.

Первый замечательный предел:

Предел функции в точке существует и равен 1, т.е. .

Второй замечательный предел:

Предел функции при x существует и равен числу e, т.е.

.

Сравнение бесконечно малых функций:

α(x), β(x) - бесконечно малые функции

Эквивалентные функции:

Эквивалентность α(x)→0; x→a
sin α ~ α	tg α ~ α	ctg α →	1-cos α ~	arcsin α ~ α
arctg α ~ α	arcctg α ~ - α	arccos α ~ - α	-1 ~ α	-1 ~ α lna
ln(1+α) ~ α	~	(1+α)^n-1 ~ nα	-1 ~	-1 ~

Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва, их классификация. Теоремы о непрерывных функциях.

Непрерывность функции в точке и на промежутке

Определение. Функция f (x) называется непрерывной в точке x ₀ÎD(f),если она определена в некоторой окрестности точки x ₀ и предел f (x) в точке x ₀ равен значению функции в этой точке.

Определение. Функция f (x) называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Точки разрыва функции и их классификация

Определение. Точка x ₀ называется точкой разрыва функции f (x), если в этой точке функция либо не определена, либо определена, но нарушено хотя бы одно из условий определения 3 непрерывности f (x).

Определение. Точка x ₀ называется точкой устранимого разрыва функции f (x), если предел функции в этой точке существует, но f (x) в точке x ₀ либо не определена, либо имеет значение f (x ₀), не совпадающее с найденным пределом:

f (x ₀ – 0) = f (x ₀ + 0) ¹ f (x ₀).

Определение. Точка x ₀ называется точкой разрыва первого рода функции f (x) (разрыв типа «скачка»), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные между собой правый и левый пределы, т.е.

f (x ₀ – 0) ¹ f (x ₀ + 0).

Определение. Точка x ₀ называется точкой разрыва второго рода функции f (x), если в этой точке функция не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Теоремы о непрерывных функциях

Теорема. Если функции f (x) и g (x) непрерывны в точке x ₀ , то функции с × f (x) (c =const), f (x) ± g (x), f (x) × g (x) и (если g (x) ¹ 0) также непрерывны в точке x _0.

Теорема. Если функция u = u (x) непрерывна в точке x ₀ и функция y = f (u) непрерывна в точке u ₀ = u (x ₀), то сложная функция y = f (u (x)) непрерывна в точке x ₀.

Теорема. Все элементарные функции непрерывны в каждой точке области их определения.

5. Производная функции, её механическая интерпретация. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Дифференциал функции, его связь с производной. Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнения касательной и нормали к кривой.

Определение производной, её геометрический и механический смысл

2. Определение 1. Приращением функции называется разность f (x +D x) – f (x). Приращение функции обозначают D y, т.е. D y = f (x +D x) – f (x).

3. Определение 2. Производной функции называется предел отношения приращения функции D y к приращению аргумента D x, если приращение аргумента D x стремится к нулю и этот предел существует. Производную функции обозначают: или . Поэтому можно записать:

4.