Бесконечно малые функции (б. м. ф.)

Функция называется б. м. ф., если Например,

Свойства б. м. ф.:

1. Сумма, состоящая из конечного числа (слагаемых) бесконечно малых есть бесконечно малая функция

2. Произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную есть бесконечно малая функция.

Функцию f(x) называют ограниченной на множестве Е, если существует такая константа М, что для любого х Î Е выполняется .

Функция, имеющая предел при х ® а, - ограничена в окрестности точки а. Следовательно, произведение б. м. ф. на функцию, имеющую предел, есть б. м. ф.

Произведение бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Бесконечно большая функция

Пусть и в окрестности точки а, тогда функция называется бесконечно большой функцией. Обозначается .

Если функция f(x) - бесконечно большая и f(x)¹ 0 в окрестности точки а, то - бесконечно малая функция. Условные обозначения: .

Как понимать х ® + ¥, х ® - ¥ и х ® ¥? Будем говорить, что х ® + ¥, если х может стать больше любого наперед заданного числа, х ® - ¥, если х может стать меньше любого наперед заданного числа, х ® ¥, если абсолютная величина х может стать больше любого наперед заданного числа.

Свойства пределов:

1. Предел суммы функций, состоящий из конечного числа слагаемых, равен сумме пределов.

2. Предел произведения равен произведению пределов.

3. Предел частного равен частному пределов, если предел знаменателя неравен нулю.

Например, если и , то

а) ;

б) ;

в) .

Неопределенности. Неопределенность

Рассмотрим вычисление . Подставим вместо х предельное значение 1: . Эта ситуация называется неопределенностью . Для того, чтобы вычислить , разложим знаменатель на множители

х²-1=(х-1)*(х+1), и подставим в выражение .

Рассмотрим вычисление . При стремлении х к бесконечности, многочлены в числителе и знаменателе стремятся к бесконечности, и возникает неопределенность вида . Для того, чтобы вычислить , вынесем х² в числителе и знаменателе за скобки

= .

Замечательные пределы и следствия из них.

Первый замечательный предел

Первым замечательным пределом называется выражение .

Следствия из первого замечательного предела:

1) ; 2) ; 3) .

Второй замечательный предел

Вторым замечательным пределом называется выражение

или где е - математическая константа, приблизительно равна 2, 71.

Следствия их второго замечательного предела:

ЗАДАЧА № 6

Вычислить пределы:

1. ;

2. ;

3. ;

4.

.

Производная функции

Производной функции f(x) называется предел .

Для производной используют и другие обозначения - .

Правила дифференцирования

Пусть U и V - дифференцируемые функции, т. е. для них существуют производные, с - константа.

1. (с)¢ = 0;

2. (U + V)¢ = U¢ + V¢;

3. (UV)¢ = U¢V + UV¢;

4. (CU)¢ = CU¢;

5. ;

6. Пусть f(x) - дифференцируемая функция, тогда .

Производные основных элементарных функций

Производные высших порядков

Производной второго порядка называется производная от производной, производной третьего порядка называется производная от производной второго порядка и т. д.

Производная неявной функции

Говорят, что функция y = f(x) задана неявно, если она задана в виде уравнения f(x, y) = 0, неразрешенного относительно у. Например, х₂ + у₂ = ху. Для того, чтобы вычислить поступают следующим образом:

а) дифференцируют левую и правую части уравнения по переменной х, при этом переменную у считают функцией от х, например,

(х² + у²)_х¢ = (ху)_х¢; 2= + 2у * у¢ = у + ху¢.

б) решают полученное уравнение относительно у¢, например,

2у * у¢ - х у¢ = у + 2х; у¢ (2у - х) = у + 2х; .

Производная функции, заданной параметрически

Говорят, что функция у = f(x) задана параметрически, если она задана в виде системы уравнений: , t - параметр.

Например,

При дифференцировании функции, заданной параметрически, используют формулу .

Геометрический смысл производной: производная - тангенс угла наклона касательной:

		Х

 

 

Механический смысл производной: производная - мгновенная скорость тела в заданный момент времени.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНУЦИИ

Дифференциалом функции y = f(x) (обозначается dy, df(x)) называется главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента.

Если у функции y = f(x) существует неравная нулю производная, то

d f(x) = f¢(x)Dx. Например,

Основные свойства дифференциала:

1. dc = 0;	4. d(UV) = dU * V + U * dV;	7.
2. dx = Dx;	5. d(U ± V) = dU ± dV;
3. d(cU) = cdU;	6.

ЗАДАЧА № 7

1. Вычислить производную: ;

2. Вычислить производную второго порядка: ;

3. Найти производную функции, заданной неявно: ;

4. Найти производную функции, заданной параметрически: ;

1. ;

2. ;

3. ;

4. Þ .

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ.

Монотонность функции

Функция называется возрастающей (убывающей), если из х₁ < х₂ следует, что f(x₁) < f(x₂) (f(x₁) > f(x₂)).

Достаточное условие возрастания (убывания) функции: если для любого х Î (а, в) f¢(x) > 0 (f¢(x) < 0), то f(x) возрастает (убывает) на (а, в).

Экстремальные точки функции

Точка х ₀ называется точкой максимума (минимума) функции у = f(x), если существует d>0, такое, что из х Î (х₀ -d, х₀ +d), х¹ х ₀ следует

f(x)< f(x₀) (f(x) > (x₀)).