Функции, непрерывные на отрезке

Определение 4.25. Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.

Функция f: Е ® R называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке своей области определения Е.

Перечислим свойства функций, непрерывных на отрезке.

1). Пусть функция непрерывна на , тогда ограничена на , т.е. (см. рис. 4.9).

2). Пусть функция непрерывна на , тогда принимает наибольшее и наименьшее значения на , т.е. и (см. рис. 4.10).

Рис. 4.9 Рис. 4.10

 

3). Пусть функция непрерывна на , тогда принимает все промежуточные значения между наименьшим и наибольшим значениями, т.е. (см. рис. 4.11).

 

 

Рис. 4.11 Рис. 4.12

4). Пусть функция непрерывна на , на концах отрезка принимает ненулевые значения, и , имеют разные знаки, тогда существует, по крайней мере, одна точка , такая что (см. рис. 4.12).

Заметим, в свойствах 1 и 2 существенно, что непрерывна на отрезке, а не на интервале. Например, непрерывна на , но она не ограничена на этом интервале. Далее, непрерывна на , но она не достигает максимума и минимума на этом интервале.

 

Контрольные вопросы

1. Числовая последовательность и ее предел.

2. Свойства предела числовой последовательности.

3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

4. Свойства бесконечно малых последовательностей.

5. Монотонная ограниченная последовательность.

6. Критерий Коши существования предела последовательности.

7. Предел функции на бесконечности.

8. Предел функции в точке.

9. Бесконечно большие функции.

10. Свойства предела функции.

11. Односторонние пределы.

12. Критерий Коши существования предела функции.

13. Замечательные пределы.

14. Виды неопределенностей.

15. Сравнение бесконечно малых функций.

16. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций. Применение эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов.

17. Непрерывность функции в точке.

18. Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке.

19. Функции, непрерывные на отрезке.

 

 

ЛЕКЦИЯ № 5. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Определение производной функции. Ее геометрический

И физический смысл

 

Понятие производной возникло в результате усилий, направленных на решение таких задач, как задача о проведении касательной к кривой или задача о вычислении скорости неравномерного движения.

1. Рассмотрим вопрос о нахождении касательной к графику функции y = f (x) в точке М (х, у) предполагая, что касательная существует. Пусть М′ (х + D х, у + D у) – произвольная точка на кривой у = f (х).

Пусть секущая ММ' составляет с положительным направлением оси ОХ угол j. Из прямоугольного треугольника MM’N (см. рис. 5.1) находим tg j =

Рис. 5.1

 

Пусть М' ® М, тогда D х ® 0 и секущая стремится к своему предельному положению – касательной МТ в точке М. Обозначим через a угол между касательной МТ и направлением оси ОХ. Тогда при D х ® 0 имеем j ® a и в силу непрерывности тангенса tg j® tg a.

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке М будет равен Мы пришли к понятию производной функции в точке х:

Итак, угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(x) в точке х равен значению ее производной в этой точке: k = f '(х).

2. Пусть уравнение х = f (t), где f – функция от времени t, а х – пройденный путь, выражает закон движения материальной точки. Необходимо найти скорость движущей точки.

Пусть в некоторый момент времени t точка занимает положение М (ОМ = х). В момент t + D t точка займет положение М' (OМ' = х + D х) (см. рис. 5.2).

Рис. 5.2

 

Отсюда х + D х = f (t + D t). За время D t точка пройдет путь D x = f (t + D t) – f (t). Следовательно, отношение выражает скорость движения точки за промежуток времени D t. Предел этого отношения при D t ® 0 есть мгновенная скорость, т.е. скорость движения в момент времени t:

Обе задачи привели к одной и той же математической операции, которую назвали дифференцированием функции, а результат – производной функции.

Определение 5.1. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

(5.1)

Теорема 5.1. Если функция имеет производную в точке, то она является непрерывной в этой точке.

Обратное утверждение неверно: непрерывная в точке функция может не иметь производной в этой точке. Примером такой функции является у = | х |. Эта функция непрерывна в точке х = 0, но не имеет производной в этой точке, так как в этой точке не существует касательной к графику функции у = | х |.

 

Дифференциал функции

Для функции y = f (x) рассмотрим производную Отсюда, по определению предела, величина является бесконечно малой. Тогда или , где А = f ′(x) – константа. Таким образом, приращение ∆ y отличается от величины на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем ∆ x.

Определение 5.2. Функция называется дифференцируемой в точке х, если ее приращение в этой точке можно записать в виде: .

Величина А ∆ x называется дифференциалом функции f (x) и обозначается dy = А∆x = f′ (x) ∆ x.

Величина называется дифференциалом независимой переменной и обозначается . Тогда

(5.2)

Теорема 5.2. Функция f (x) дифференцируема в точке х тогда и только тогда, когда она имеет производную в этой точке, равную А.

Заметим, что мы можем рассматривать производную, как отношение двух дифференциалов:

(5.3)

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием функции.

 

Правила дифференцирования. Свойства дифференциала. Таблица производных

1) Производная константы равна нулю, т.е. .

2) Если функция f (х) имеет производную в точке х, то С∙f (х) также имеет производную в точке х, и при этом

(5.4)

3) Если функции и (х) и v (x) имеют производные в точке х, то их сумма f (х) = и (х) + v (x) также имеет производную в точке х, и при этом

(5.5)

4) Если функции и (х) и v (x) имеют производные в точке х, то их произведение f (x) = u (x)× v (x) также имеет производную в точке х и

(5.6)

5) Если функции и (х) и v (x) имеют производные в точке х и, кроме того, v (x)¹ 0, то частное также имеет производную в точке x и

(5.7)

6) Пусть дана сложная функция у = f (u), где и = g (x) и пусть u = g (x)имеет производную в точке х, а функция y = f (u) имеет производную в точке и = g (x). Тогда сложная функция у = f (g (х)) имеет производную в точке х и

(5.8)

5. Свойства дифференциала

dc = 0, c = const.

d (u ± v) = du ± dv.

d (cu) = c du, c = const.

d (uv) = v du + u×dv.

.

Дифференциал сложной функции: если y = f (x), x = φ(t), то .

Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных: дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента, при этом безразлично, будет ли этот аргумент независимой переменной или функцией от другой независимой переменной. Таким образом, если и , то . Тогда свойство инвариантности выражается формулой:

(5.9)

6. Таблица производных основных элементарных функций (таб. 5.1)

7. Таблица 5.1

Примеры.

2. . Воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций:

3. . Воспользуемся правилом дифференцирования частного функций:

 

.Так как эта функция сложная, то воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: