Приложения производной функции

15. Правило Лопиталя

Теорема 5.5 (Лопиталя). Пусть функции непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самойточки a (а – число или ). Причем в любой точке этой окрестности и выполнено одно из условий:

Тогда если существует , то существует и , причем

(5.15)

( – число или ).

Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенности вида или . Правило Лопиталя можно применять несколько раз подряд, но только конечное число раз, пока не исчезнет неопределенность. Подчеркнем еще раз, что теорема Лопиталя применима только в том случае, если предел отношения производных существует (конечный или бесконечный).

16. Раскрытие неопределенностей вида (0×¥), (¥-¥),

Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенности вида . Остальные виды неопределенностей приводятся к ним следующим образом:

1) (¥-¥). Преобразование дает неопределенность вида .

2) (0×¥). Преобразование дает неопределенность вида , если f (x) – бесконечно малая функция, а g (x) бесконечно большая, или неопределенность вида , в противном случае.

3) Преобразуем функцию следующим образом: , тогда в степени получим неопределенность вида (0×¥).

Примеры: С помощью правила Лопиталя найти пределы следующих функций:

Здесь пришлось дважды применять формулу (5.15).

 

17. Монотонность функции

Определение 5.8. Функция, только возрастающая или только убывающая на некотором промежутке, называется монотонной на этом промежутке. Строго возрастающая или строго убывающая функция называется строго монотонной. При этом говорят, что функция (строго) монотонно возрастает или (строго) монотонно убывает.

Теорема 5.6 (Необходимый признак монотонности функции).

1). Если дифференцируемая функция монотонно возрастает на некотором промежутке, то ее производная неотрицательна на этом промежутке, т.е. .

2). Если дифференцируемая функция монотонно убывает на некотором промежутке, то ее производная неположительна на этом промежутке, т.е. .

Геометрически утверждение теоремы сводится к тому, что для графика возрастающей дифференцируемой функции касательные образуют с положительным направлением оси OX острые углы a или в некоторых точках параллельны оси OX (см рис. 5.3), а для убывающей функции – углы, большие прямого угла (см. рис. 5.4).

 

 

Рис. 5.3 Рис. 5.4

 

Теорема 5.7 (Достаточный признак монотонности функции).

1). Если производная дифференцируемой функции строго положительна внутри некоторого промежутка, т.е. , то функция строго монотонно возрастает на этом промежутке.

2). Если производная дифференцируемой функции строго отрицательна внутри некоторого промежутка, т.е. , то функция строго монотонно убывает на этом промежутке.

18. Исследование функции на экстремум

Определение 5.9. Точка называется точкой максимума (рис. 5.5) (минимума (рис. 5.6)) функции , если существует окрестность этой точки, такая, что .

 

Рис. 5.5 Рис. 5.6

 

Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции.

Теорема 5.8 (Необходимое условие экстремума). Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки и имеет экстремум в этой точке. Тогда производная функции в точке либо равна нулю, либо не существует.

Геометрически это означает, что в точке экстремума функции y = f (x) касательная к ее графику либо параллельна оси OX (как на рис. 5.7), либо не существует (как на рис. 5.8).

 

Рис. 5.7 Рис. 5.8

 

Теорема 5.9 (Достаточные условия экстремума). Пусть функция f (x) определена в точке , непрерывна в некоторой окрестности точки и дифференцируема в этой окрестности, за исключением, может быть, самой точки . Тогда если производная меняет знак при переходе через точку , то является точкой экстремума. При этом, если при переходе через точку производная меняет знак с «+» на «–», то – точка максимума; если с «–» на «+», то – точка минимума. Если знак производной при переходе через точку не меняется, то не является точкой экстремума.

Определение 5.10. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками. Из последней теоремы следует, что критические точки необязательно будут точками экстремума.

Теорема 5.10 (Общее условие существования экстремума). Пусть в точке функция имеет производные до п -го порядка включительно, причем

.

Тогда, если п – четное, то функция имеет в точке экстремум, а именно максимум, если , и минимум, если . Если п – нечетное, то функция не имеет экстремум в точке .

На практике часто применяется следствие из этой теоремы.

Следствие. Если для функции f (x) в точке первая производная равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, т.е. , , то является точкой экстремума функции f (x), причем 1) если , то – точка минимума функции f (x);

2) если , то – точка максимума функции f (x).

Пример. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .

Решение. Находим производную функции:

.

Находим критические точки: . Получаем , . Производная не существует при . Таким образом, получили три критические точки. Занесем все данные в таблицу, определим знаки производной и промежутки возрастания, убывания функции:

 

Таким образом, получили, что и являются точками экстремума, причем , .

Контрольные вопросы

1. Определение производной функции. Геометрический смысл производной.

2. Физический смысл производной.

3. Определение дифференцируемой функции. Дифференциал функции.

4. Правила дифференциала.

5. Свойства дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.

6. Таблица производных основных элементарных функций.

7. Дифференцирование обратных функций.

8. Производная неявной функции.

9. Логарифмическая производная. Производная сложно-степенной функции.

10. Производная функции, заданной параметрически.

11. Формула приближенного вычисления.

12. Производные высших порядков. Формула Лейбница.

13. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей различных видов.

14. Монотонность функции. Необходимые и достаточные условия монотонности функции.

15. Точки экстремума. Необходимое и достаточное условия экстремума.

16. Общее условие существования экстремума.