Декартовы координаты на плоскости и в пространстве

Определение 2.8. Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве с общим началом О и одинаковой масштабной единицей образуют декартову систему координат в пространстве. Оси занумерованы в определенном порядке и называются: первая – ось Ох или ось абсцисс, вторая – ось Оу или ось ординат, третья – ось Оz или ось аппликат.

Пусть М – произвольная точка в пространстве, а , и – проекции этой точки на оси Ох, Оу и Оz, соответственно (см. рис. 2.2).

Определение 2.9. Декартовыми координатами точки М называются алгебраические величины векторов , и . Это обозначается следующим образом: М (х, у, z), где , , (рис. 2.2). Декартовы координаты х, у и z точки М называют еще ее абсциссой, ординатой и аппликатой, соответственно.

Определение 2.10. Пусть в пространстве дан вектор а = . Декартовыми координатами вектора а называются проекции , и этого вектора на координатные оси (см. рис. 2.3). Обозначение: а = .

 

 

Рис. 2.2 Рис. 2.3

 

Если известны координаты точек и , то координаты вектора вычисляются по формулам:

(2.1а)

Формулы для вычисления длины вектора а, а также расстояния между точками и :

. (2.2а)

Декартовы координаты вектора на плоскости определяются аналогично, с той разницей, что там отсутствует ось аппликат и, соответственно, третья координата. Таким образом, если а = и , то, очевидно,

. (2.1б)

 

(2.2б)

Определение 2.11. Обозначим a, b и g – углы наклона вектора а к координатным осям Ох, Оу и Оz, соответственно. Три числа cosa, cosb и cosg называются направляющими косинусами вектора а.

Справедливы равенства:

(2.3)

Формулы для вычисления направляющих косинусов:

(2.4)

Если равенства (2.4) возвести в квадрат и сложить, то получим:

(2.5)

Таким образом, сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.

Так как любой вектор однозначно определяется заданием трех его координат, то теперь мы видим, что любой вектор также однозначно определяется заданием его длины и направляющих косинусов.

Линейными операциями принято называть операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на число.

Определение 2.12. Суммойа + b двух векторов а и b называется вектор, который идет из начала вектора а в конец вектора b, при условии, что вектор b приложен к концу вектора а.

Существует два способа сложения векторов: по правилу треугольника (рис. 2.4) и по правилу параллелограмма (рис. 2.5).

 

 

Рис. 2.4 Рис. 2.5

 

Сложение векторов обладает следующими свойствами:

1) переместительное свойство: а + b = b + a;

2) сочетательное свойство: (a + b) + c = a + (b + c).

Определение 2.13. Вектор – а называется обратным вектору а, если он коллинеарен а, имеет длину, равную | a |, и направлен в противоположную сторону.

Очевидно, а + (–а) = 0.

Определение 2.14. Разностью двух векторов a и b называется вектор a – b = a + (–b).

На рис. 2.6 показано, как построить разность векторов двумя различными способами.

 

Рис. 2.6

 

Определение 2.15. Произведением числа a на вектор а называется вектор a а, коллинеарный вектору а, имеющий длину |a|×| a | и направленный так же, как а, если a > 0, и в противоположную сторону, если a < 0. Если a = 0, то a а = 0.

Перечислим свойства, которыми обладает операция произведения вектора на число.

1. Распределительное свойство относительно суммы векторов: a(а + b) = a a + a b.

2. Распределительное свойство относительно суммы чисел: (a + b) а = a а + b а.

3. Сочетательное свойство: a(b а) = (ab) а.

4. Если вектор b коллинеарен вектору а, то существует число l такое, что b = l a.