Неполные уравнения плоскости.

Общее уравнение плоскости (3.20) называется полным, если все коэффициенты А, В, С и D отличны от нуля. В противном случае уравнение плоскости называется неполным.

Рассмотрим различные виды неполных уравнений плоскости:

1) D = 0, уравнение Ах + Ву + Cz = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат;

2) А = 0, уравнение Ву + Сz + D = 0 определяет плоскость, параллельную оси Ох;

3) В = 0, уравнение Ах + Сz + D = 0 определяет плоскость, параллельную оси Оу;

4) С = 0, уравнение Ах + Ву + D = 0 определяет плоскость, параллельную оси Оz;

5) A = 0, B = 0, уравнение Cz + D = 0 определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Оху;

6) A = 0, С = 0, уравнение Ву + D = 0 определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Охz;

7) B = 0, C = 0, уравнение Ax + D = 0 определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Оуz;

8) A = 0, B = 0, D = 0, уравнение Cz = 0 равносильно уравнению

z = 0 и определяет координатную плоскость Оху;

9) A = 0, С = 0, D = 0, уравнение Ву = 0 равносильно уравнению

у = 0 и определяет координатную плоскость Охz;

10) B = 0, C = 0, D = 0, уравнение Ax = 0 равносильно уравнению x = 0 и определяет координатную плоскость Оуz.

Уравнение плоскости в отрезках.

(3.21)

Заметим, что числа a, b и c имеют простой геометрический смысл: они равны алгебраическим величинам отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях Ох, Оу и Оz, соответственно (см. рис. 3.5).

Рис. 3.5

 

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.

Пусть , и – три различные точки, не лежащие на одной прямой. Известно, что через три точки всегда можно провести плоскость, и она будет единственной, если точки не лежат на одной прямой.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, имеет вид

(3.22)

Пример. Записать уравнение плоскости, проходящей через три точки , и .

Решение. Воспользуемся формулой (3.22):

.

Раскрывая определитель, получим искомое уравнение плоскости: .

Уравнение плоскости, параллельной данному вектору и проходящей через две данные точки

Пусть дан вектор а = (т, п, l) и две различные точки и . Тогда уравнение плоскости, проходящей через эти две точки и параллельной вектору а, запишется в виде:

(3.23)

Уравнение плоскости, параллельной двум неколлинеарным векторам и проходящей через точку.

Пусть даны два вектора а и а и точка . Если векторы а и а не коллинеарны, то через точку можно провести единственную плоскость, параллельную векторам а и а .

Уравнение плоскости, параллельной векторам а и а и проходящей через данную точку имеет вид:

(3.24)

7. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору п (А, В, С):

(3.25)