Лекция № 4. Предел числовой последовательности

И ФУНКЦИИ

Предел числовой последовательности

 

Определение 4.1. Пусть каждому натуральному числу приведено в соответствие число . Тогда говорят, что задана числовая последовательность и обозначают ее .

Числа называются элементами последовательности, а выражение – общим членом последовательности.

Примеры.

1. .

2. .

Определение 4.2. Последовательность называется ограниченной, если существует число М, такое, что .

Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М, такое, что .

Определение 4.3. Число а называется пределом числовой последовательности , если для любого e > 0 найдётся натуральное число N такое, что для " п > N выполняется неравенство | х_n - а | < e. Или, используя краткую запись,

" e > 0 $ N " n > N | х_n - а | < e.

В этом случае пишут или х_n ® а и говорят, что х_n стремится к а или последовательность сходится к а.

Если последовательность имеет конечный предел, то говорят, что она сходится. Если последовательность не имеет конечного предела, то ее называют расходящейся.

Определение 4.4. Интервал , содержащий в себе точку а, называется окрестностью точки а.

Интервал (a - e, a + e) также будет окрестностью точки а. Он называется e- окрестностью точки а. При этом неравенство | х_n - а | < e может быть переписано в виде: (a - e, a + e).

Понятие предела является базовым понятием математического анализа. Сформулируем определение предела последовательности по-другому.

Определение 4.5. Число а называется пределом числовой последовательности , если любая e-окрестность точки а содержит все члены последовательности х_n, начиная с некоторого номера N (см. рис. 4.1).

 

Рис. 4.1

 

Отметим, что номер N в определении предела, вообще говоря, зависит от ε. Чем меньшую e-окрестность приходится рассматривать, тем более удаленные точки последовательности приходится брать.

6. Свойства предела последовательности

Элементарные свойства предела последовательности:

1. Если последовательность имеет предел, то он единственен.

2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

3 (о предельном переходе в неравенствах). Если последовательности и сходятся и £ для всех n, то .

4. Если и для всех п справедливо неравенство £ £ , то .

Арифметические свойства пределов последовательностей:

Пусть ® a, ® b, тогда

1. ± ® a ± b,

2. × ® a × b,

3. / ® a / b, b¹ 0.

Заметим, что пределы суммы, разности, произведения и частного могут существовать и без существования пределов и .

7. Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Определение 4.6. Последовательность называется бесконечно малой, если " e > 0 $ N, начиная с которого каждый член последовательности х_n по модулю меньшее e. Или "e > 0 $ N " n > N | х_n | < e.

Обозначение: .

Последовательность называется бесконечно большой, если " P >0 $ N " n > N | х_n | > P.

Обозначение: .

Бесконечно большая величина ни к какому конечному пределу не стремится.

Если бесконечно большая величина , начиная с некоторого номера N, принимает только положительные (отрицательные) значения, то пишут . Однако существуют бесконечно большие, для которых , но и .

Теорема 4.1. Для того, чтобы последовательность была бесконечно большой, необходимо и достаточно, чтобы последовательность , где у_n = 1/ , была бесконечно малой.

Свойства бесконечно малых последовательностей:

1. Последовательность имеет предел а тогда и только тогда, когда , где – бесконечно малая величина.

2. Стационарная последовательность является бесконечно малой тогда и только тогда, когда с = 0.

3. Если отбросить (или добавить) конечное число членов бесконечно малой последовательности, то она останется бесконечно малой последовательностью.

4. Если – бесконечно малая последовательность и " n выполня­ется | y_n | £ | х_n |, то - бесконечно малая последовательность.

5. Бесконечно малая последовательность является ограниченной.

6. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

7. Если – бесконечно малая последовательность, а – ограниченная последовательность, то их произведение { х_n × y_n } является бесконечно малой последовательностью.

8. Если – ограниченная последовательность, а – бесконечно большая последовательность, то – бесконечно малая.

9. Если – ограничена снизу, а – бесконечно малая последовательность, то – бесконечно большая.

Можно определить понятие предела последовательности на языке бесконечно малых последовательностей: число а называется пределом последовательности , если { х_n – а } – бесконечно малая последовательность, т.е. .

8. Монотонная ограниченная последовательность

Определение 4.7. Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если ().

Последовательность называется убывающей (невозрастающей), если ().

Все такие последовательности называются монотонными. При этом говорят, что последовательность монотонно возрастает или монотонно убывает.

Теорема 4.2. Пусть – монотонно возрастает (убывает). Если она ограничена сверху (снизу) числом М, то она имеет предел, не превосходящий М (не меньший М).

Рассмотрим числовую последовательность , где .

»2,718281…(4.1)

Это число имеет исключительную важность для математического анализа и его приложений. Некоторые свойства числа е делают особо выгодным выбор этого числа в качестве основания логарифма. Такие логарифмы называются натуральными и обозначаются ln.

9. Критерий Коши существования предела последовательности

Критерий Коши является общим признаком существования предела последовательности. Он позволяет определять сходимость последовательности без нахождения самого предела последовательности.

Определение 4.8. Последовательность называется фундаментальной, если " e > 0 $ N " n, m > N | - | < e.

Фундаментальную последовательность можно еще определить следующим образом: " e > 0 $ N " n > N, " p Î N| - | < e.

Теорема 4.3. (Критерий Коши). Чтобы последовательность сходи­лась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Примеры.

1).

2). т. к.

 

Предел функции

10. Предел функции на бесконечности

Понятие предела функции на бесконечности является в определенном смысле обобщением понятия предела последовательности.

Определение 4.9. Функцию f (x) определённую на луче (Q, +¥), называют бесконечно малой при х ® +¥, если " e > 0 $ М > 0 такое, что " x > M выполняется | f (x)| < e. См. рис. 4.2.

Обозначение: .

Функцию f (x), определенную на луче (– ¥, а) называют бесконечно малой при х ® – ¥, если " e > 0 $ M > 0 такое, что " x < - M выполняется| f (x)| < e.

Обозначение: .

Поскольку вместо двух неравенств х <- М, x > M можно записать | х | > М, то можно объединить два приведенных выше определения в одно.

Функцию, определённую на (– ¥; a ₁) È(a ₂; + ¥), называют бесконечно малой при х ® ¥ (±¥), если " e > 0 $ M > 0 такое, что " x, если | x |> M,то | f (x)| < e.

Обозначение: .

 

Рис. 4.2 Рис. 4.3

 

Определение 4.10. Число b называют пределом функции f(x) при х®¥, если | f (x) – b | – бесконечно малая функция при х ® ¥, при этом пишут .

Приведем определение предела функции на бесконечности по Коши.

Определение 4.11. Число b называют пределом функции f(x) при х ® ¥, если " e > 0 $ M > 0 " x;если | x | > M,то| f (x) - b | < e. См. рис. 4.3.

11. Предел функции в точке

Определение 4.12. Функцию f (x)называют бесконечно малой при х ® а, если " e > 0 $ d> 0 " x из неравенства| x – a |<dследует неравенство | f (x) | < e. См. рис. 4.4.

Обозначение: .

 

Рис. 4.4 Рис. 4.5

 

Число b называют пределом функции f(x) при х ® а, если f (х) – b является бесконечно малой функцией при х ® а.

При этом пишут .

Можно снова привести определение предела функции в точке по Коши или, другими словами, на языке e-d.

Определение 4.13. Число b называют пределом функции f (x) при х ® а, если " e > 0 $ d> 0 " x, если | x – a |<d, то | f (x) – b | < e.

Определение предела говорит о том, что если х приближается к а по любому закону, оставаясь не равным а, то f (x) приближается к b, делается как угодно близким к b.

12. Бесконечно большие функции

Определение 4.14. Функция у = f (х), определённая на объединении двух лучей (–¥; a ₁) È(a ₂; +¥), называется бесконечно большой при х ® ¥, если " P > 0 $ M > 0 " x, если | x |> M, то| f (x)| > Р.

Обозначение: .

Можно так же определить бесконечно большую функцию в точке.

Определение 4.15. Функцию f (x)называют бесконечно большой при х ® а, если " Р > 0 $ d> 0 " x из неравенства| x – a |<dследует неравенство | f (x) | > P. См. рис. 4.5.

Обозначение: .

Приведем свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций. При этом будем предполагать, что а – либо конечное число, либо (+∞ или –∞).

1. Если , то , где – бесконечно малая при . Верно и обратное.

2. Постоянная функция у = с является бесконечно малой при х ® а тогда и только тогда, когда c = 0.

3. Сумма, произведение конечного числа бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией.

4. Если f (x) – бесконечно малая функция при х ® а, то она является ограниченной в некоторой окрестности точки а.

5. Если f (x) – бесконечно малая функция при х ® а, а g (x) – ограниченная функция в некоторой окрестности точки а, то их произведение является бесконечно малой функцией при .

6. Если f (х) – бесконечно малая функция при х ® а и в некоторой окрестности точки а выполняется неравенство | g (x)| £ | f (х)|, то и g (x) – есть бесконечно малая функция на соответствующем интервале.

7. Если и – бесконечно малая при , т.е. , то – бесконечно большая, т.е. .

8. Если и – бесконечно большая при , т.е. , то – бесконечно малая, т.е. .

13. Свойства предела функции

Снова будем предполагать, что а – либо конечное число, либо (+∞ или –∞).

1. Если функция имеет предел при х ® а, то он единственен.

2. Если функция имеет конечный предел при х ® а, то она ограничена в некоторой окрестности точки а.

3. О предельном переходе в неравенствах. Если , и в некоторой окрестности точки а выполняется неравенство f (х) £ g (x), то b £ c.

4. О пределе промежуточной функции. Если и в некоторой окрестности точки а справедливо f (x) £ g (x) £ h (x), то .

5. Арифметические свойства пределов: пусть , , где b и с – конечные числа, тогда

а) ,

б) ,

в) , если c ¹ 0.

14. Односторонние пределы

Определение 4.16. Число b называется левым пределом функции f (x) при х ® а, если " e > 0 $ d> 0 " x: 0 < a – x <d Þ | f (x) – b | < e. См. рис. 4.6.

Обозначение: .

Число b называется правым пределом функции f (x) при х ® а, если " e > 0 $ d> 0 " x: 0 < x – a <d Þ | f (x) – b | < e. См. рис. 4.7.

Обозначение: .

Если а = 0, то используют обозначение и .

 

 

Рис. 4.6 Рис. 4.7

 

Можно дать другие определения левого и правого пределов.

Определение 4.17. Левой окрестностью точки а называется произвольный полуинтервал , а правой окрестностью точки а называется произвольный полуинтервал .

Левая и правая окрестности точки ∞ будут, соответственно, и .

Определение 4.18. Число b называется левым (правым) пределом функции f (x) при х ® а, если определена в некоторой левой (правой) окрестности точки а, и если " e > 0 $ левая (правая) окрестность , такая что , , выполняется | f (x) – b | < e.

Левый и правый пределы в точке ∞ записываются следующим образом: и .

Левый и правый пределы называют односторонними, обычный предел называют двусторонним.

Теорема 4.4. Для того чтобы существовал , необходимо и достаточно, чтобы существовали односторонние пределы и и чтобы они были равны между собой, т.е.

.

15. Критерий Коши существования предела функции

Так же как и для последовательности, для функции существует аналогичный критерий Коши существования предела.

Определение 4.19. Функция называется функцией, удовлетворяющей условию Коши при , если окрестность точки а, такая что справедливо , или на языке : , если , то .

Теорема 4.5 (Критерий Коши). Для того чтобы функция имела предел в точке а, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши в точке а.

16. Замечательные пределы

Первый замечательный предел: (4.2)

Эта формула получается из неравенства: , которое верно в некоторой окрестности нуля. Положим сначала, что х положительно, тогда и поэтому . Переворачивая неравенство, получаем . Отметим, что последнее неравенство верно и при х отрицательных, так как и . Поскольку , то по свойству о пределе промежуточной функции получаем: .

Второй замечательный предел записывается в двух видах:

(4.3)

Существование этого предела для натуральных х было обосновано при изучении числовых последовательностей.

Примеры.

1. .

2.

 

17. Виды неопределенностей

При вычислении пределов могут возникнуть так называемые неопределенности. Например, предел отношения при условии и может принимать различные значения, в том числе равняться бесконечности, или даже не существовать. В этом случае говорят, что имеется неопределенность вида .

Перечислим все неопределенности, которые могут возникнуть при вычислении пределов: , , , , , , .

При возникновении неопределенности в каждом конкретном примере необходимо преобразовать выражение под знаком предела так, чтобы неопределенность исчезла.

От неопределенности вида можно избавиться, используя второй замечательный предел. В дальнейшем будет показано, как раскрываются неопределенности вида и .

18. Сравнение бесконечно малых

Определение 4.20. Две бесконечно малые и называются величинами одного и того же порядка малости при , если В частности, если k = 1, то говорят, что и эквивалентные величины, и пишут ~ . Таким образом,

~ .

Определение 4.21. Бесконечно малая называется бесконечно малой более высокого порядка, чем бесконечно малая при , если

Порядок бесконечно малой функции можно определить из условия: если , то будет бесконечно малой порядка п.

Например, – бесконечно малая порядка 1 при , а – бесконечно малая порядка 2, так как

, .

Теорема 4.6. Пусть ~ при , тогда справедливы равенства:

, ,

,

где – некоторая функция, определенная в окрестности точки а.

Для применения этой теоремы на практике полезно знать как можно больше пар эквивалентных функций. Приведем наиболее часто используемые эквивалентности (при , см. таб. 4.1):

Таблица 4.1.

 

Примеры.

1).

Воспользовались эквивалентностью

 

Непрерывность функции