Операции над пределами последовательностей

1. Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности) их пределов:

, (17).

2. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов:

, (18).

В частности:

· постоянный множитель можно выносить за знак предела:

, (19);

· предел натуральной степени от сходящейся последовательности равен этой степени от её предела:

, k =1, 2, 3, … (20);

· предел корня k -й степени от сходящейся последовательности равен корню этой же степени от предела последовательности:

, k =2, 3, 4, … (21).

 

№4. Написать первые четыре члена последовательности { x_n }, если: 1) ; 2) х ₁=1, x_n = x_{n – 1}+2.

► 1) Подставляя последовательно n =1, 2, 3, 4, … в формулу для общего члена последовательности, найдем: х ₁= –1; ; ; ;

2) В соответствии с формулой x_n=x_{n – 1}+2 получим: х ₂= х ₁+2=3, х ₃= х ₂+2=5, х ₄= х ₃+2=7. ◄

 

№5. Какие из следующих последовательностей ограничены сверху? снизу? ограничены?

1) 2; 4; 6; 8; …

2) –1; –4; –9; –16; …

3) –2; 4; –8; 16; ….

► 1) Данная последовательность, состоящая из всех чётных положительных чисел, ограничена снизу, но не ограничена сверху;

2) x_n = – n ²<0 (n =1, 2, 3, …), последовательность ограничена сверху, но не ограничена снизу;

3) x_n =(–2) ⁿ не ограничена, так как для любого числа M >0 можно найти такой номер n, что |x_n|=2 ⁿ > M. ◄

 

№6. Какие из последовательностей монотонные, а какие — строго монотонные: 1) x_n =2 n +1; 2) –1; –1; –2; –2; –3; –3; …

► 1) данная последовательность строго возрастает, т.к. x_{n +1}=2(n +1)+1=2 n +3>2 n +1= x_n для всех натуральных чисел n;

2) данная последовательность невозрастающая, так как , n =1, 2, … и некоторые (например, первый и второй) члены этой последовательности равны между собой. ◄

 

№7. Доказать, что есть бесконечно малая.

► Запишем последовательность значений:

–1, – , – , – , …, , …

отсюда видно, что с возрастанием n значения переменной x_n приближаются к нулю так, что с некоторого номера N абсолютные значения переменной будут меньше любого наперёд заданного сколь угодно малого положительного числа . Докажем это. Пусть дано >0, тогда или < , отсюда n > , следовательно, можно принять номер N > , при значении которого для любых номеров n N будет выполняться неравенство . Пусть, например, ε=0,01, тогда для всех n N, где .

Если ε= , то , т.е. можно принять номер N =3. Следовательно, значения переменной по абсолютной величине для всех номеров . Это и означает, что переменная x_n есть бесконечно малая величина. ◄

 

Постановка задачи. Пользуясь определением последовательности, доказать, что .

План решения. 1. Число а называется пределом последовательности { x_n }, если для , . Это означает, что неравенство имеет решение для .

2. Найти, при каких n справедливо неравенство , т.е. решить это неравенство относительно n.

3. Если решение имеет вид , то а — предел числовой последовательности { x_n }.

 

⋙Если решение неравенства нельзя представить в виде , то число а не является пределом последовательности { x_n }.

 

№8. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что .

► 1. По определению число а =2 называется пределом числовой последовательности , если .

2. Найдём, при каких n справедливо неравенство , т.е. решим это неравенство относительно n.

3. Неравенство имеет решение . Следовательно, 2 — предел числовой последовательности . ◄

 

Аудиторные задания

№9. Написать первые пять членов последовательности { x_n }, если .

№10. Зная несколько первых членов последовательности { x_n }, написать формулу её общего члена: 1, , , , … Определить какие из последовательностей { x_n } ограничены:

№11. . Ответ: неограниченная.

№12. x_n = –ln n; Ответ: ограничена сверху.

Какие из последовательностей монотонные, а какие — строго монотонные:

№13. . Ответ: убывающая.

№14. . Ответ: неубывающая.

№15. Используя определение, доказать, что последовательность бесконечно малая .

№16. Используя определение предела, доказать, что последовательность сходится к числу 1.

Написать первые пять членов последовательности { x_n }, если:

№17. x_n = .

№18. x_n = .

Зная несколько первых членов последовательности { x_n }, написать формулу её общего члена:

№19.

№20.

№21. –1, 2, –3, 4, –5, …

Какие из последовательностей { x_n } ограничены:

№22. x_n=n ³+2 n. Ответ: ограничена снизу.

№23. . Ответ: ограниченная.

Какие из последовательностей монотонные, а какие — строго монотонные:

№24. .

Ответ: строго возрастающая, ограниченная.

№25. .

Ответ: строго убывающая, ограниченная сверху.

№26. Пусть { x_n }={ n }, — две последовательности.

Найти последовательности { x_n + y_n }, { x_n – y_n }, , .

№27. Доказать, что данная последовательность бесконечно малая: x_n = .

№28. Доказать, что данная последовательность бесконечно большая: x_n=n ².

№29. Пользуясь определением последовательности доказать, что .

 

Домашние задания

Найти первые четыре члена последовательности { x_n }, если:

№30. .

№31. x_n= 1.

№32. .

№33. x ₁=2, x_n =| x_{n – 1} – 2|.

№34. x_n = n!, где .

Зная несколько первых членов последовательности { x_n }, написать формулу его общего члена:

№35. 2, 5, 10, 17, 26, …

№36. –1, 1, –1, 1, –1, …

№37.

№38.

Какие из последовательностей { x_n } ограничены, если:

№39. x_n =sin x. Ответ: ограниченная.

№40. . Ответ: ограниченная сверху.

№41. . Ответ: ограниченная снизу.

№42. . Ответ: неограниченная.

Найти последовательности и , если:

№43. x_n=n, y_n =1;

№44. x_n=n ², y_n=n.

Доказать, что данная последовательность бесконечно малая:

№45. x_n = .

№46. x_n= .

Доказать, что данная последовательность бесконечно большая:

№47. x_n = .

№48. x_n =2 ⁿ.

Пользуясь определением последовательности доказать:

№49. .

№50. .

Занятие 3

Предел функции.

Раскрытие неопределённостей вида ,

Цели

Знать:

v Определение предела;

v признаки существования пределов;

v основные теоремы о пределах.

Уметь:

v Применять основные теоремы о пределах;

v применять признаки существования пределов при вычислении предела функции;

v вычислять пределы, раскрывая неопределённости вида , .

 

Определение («на языке последовательностей», или по Гейне)

Число А называется пределом функции y=f (x)в точке х ₀ (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента x_n, , сходящейся к х ₀ (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции f (x_n), сходится к числу А (т.е. ).

 

Определение (на «языке ε-δ», или по Коши»)

Число А называется пределом функции y=f (x)в точке х ₀ (или при , т.е. ), если для любого положительно ε найдётся такое положительное число δ, что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

(22).

Следствие. Функция может иметь только один предел при .

Теорема 2. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

(23).

Теоремы 1 и 2 справедливы для любого конечного числа функций.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

(24).

Следствие. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

(25).

Следствие. (26).

Теорема. Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

, () (27).

При нахождении пределов применяют соотношения:

, (k =const); ;

; ;

;

;

(28).

 

Постановка задачи. Найти .

План решения. Для того чтобы найти вычисляем f (х ₀), при этом:

• если данное выражение имеет смысл, то предел равен этому выражению;
• если в результате вычислений нет неопределённостей, воспользуемся одним из соотношений (28).

 

№9. Найти пределы: 1) ; 2) ;

3) .

► 1) Применяя теоремы о пределах, получаем:

= =

= ;

2) Пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю. Пользуясь теоремой о пределе частного, находим: = ;

3) Непосредственно применять теорему о пределе частного нельзя, так как предел знаменателя равен нулю (в знаменателе есть бесконечно малая величина при ). В числителе имеем ограниченную величину, отличную от нуля. Таким образом, под знаком предела будет произведение ограниченной величины , отличной от нуля, на бесконечно большую величину при как величину, обратную бесконечно малой. Поэтому . ◄

 

Постановка задачи. Найти , где или .

План решения. Для того чтобы найти вычисляем f (х ₀), если в результате вычислений получилась неопределённость или , следует применить соответствующие правила для раскрытия данных неопределённостей.

Неопределённость вида

• Для того чтобы разрешить неопределённость вида , до вычисления предела средствами алгебры в числителе и знаменателе выделяем множитель и сокращаем на него, т.к. .

· Чтобы раскрыть неопределённость , в которой числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует соответствующим образом избавиться от иррациональности.

Неопределённость вида

• Если числитель и знаменатель, сложные степенные функции: необходимо вынести за скобку в числителе и знаменателе дроби неизвестное с наибольшим показателем степени среди всех слагаемых дроби; после сокращения дроби неопределённость устраняется.

Частный случай: предел рационального выражения вида

при будем рассматривать как предел частного двух многочленов, который равен:

• Если числитель и знаменатель, сложные показательные функции: за скобку вынести наиболее быстро возрастающее слагаемое среди всех слагаемых дроби; после сокращения дроби неопределённость устраняется.

 

№10. Найти пределы: 1) ;

2) ; 3) .

► 1) = , для раскрытия данной неопределенности средствами алгебры разложим числитель и знаменатель на множители:

,

сократим множитель (х – 3) имеем:

= ;

2) . Данное предельное выражение содержит иррациональность в числителе, следовательно, домножим дробь на сопряженное выражение, т.е. на , тогда:

.

В числителе последнего выражения получилась формула — разность квадратов, таким образом:

;

3) , для раскрытия данной неопределенности сделаем замену:

тогда исходное пределное выражение имеетвид:

,

которое раскрывается по известным правилам, т.е.:

= = . ◄

 

№11. Найти пределы: 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

► 1) , для раскрытия данной неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на х ², тогда:

= ;

2) , для раскрытия данной неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на х ³, тогда:

;

3) , для раскрытия данной неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на n ⁴, тогда:

= = ;

4) = , для раскрытия данной неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на n, тогда:

= =0. ◄

 

№12. Найти пределы: 1) ;

2) ; 3) .

► Данные предельные соотношения можно рссмотреть, как частное двух многочленов, т.е:

1) = =2;

2) ;

3) .◄

 

Постановка задачи. Найти .

План решения. Для того чтобы найти вычисляем f (х ₀), если в результате вычислений получилась одна из неопределённостей , или др., то данные неопределённости раскрываются путём преобразования и сведения их к неопределённости или .

 

№13. Найти пределы: 1) ; 2) .

► 1) , данное предельное выражение преобразум таким образом:

= ;

2) Рассмотрим два случая:

а) . Перенеся иррациональность из числителя в знаменатель, получим:

= =

= =0;

б) . ◄

 

Аудиторные задания

Найти пределы:

№51 . Ответ: 5.

№52 . Ответ: .

№53. . Ответ: 0.

№54. . Ответ: .

№55. . Ответ: 2.

№56. . Ответ: – .

№57. . Ответ: .

№58. . Указание: замена: x = t ⁶. Ответ: .

№59. . Ответ: 0.

№60. . Ответ: .

№61. . Ответ: .

№62. . Ответ: –9.

№63. . Ответ: .

№64. . Ответ: .

№65. . Ответ: .

№66. . Ответ: 4.

№67. . Ответ: .

№68. . Ответ: .

№69. . Ответ: 0.

 

Домашние задания

Найти пределы:

№70. . Ответ: 40.

№71. . Ответ: .

№72. . Ответ: 4.

№73. . Ответ: 0.

№74. . Ответ: .

№75. . Ответ: .

№76. . Ответ: .

№77. . Ответ: 1.

№78. . Ответ: .

№79. . Ответ:1.

№80. . Ответ: .

№81. . Ответ: .

№82. . Ответ: .

№83. . Ответ: .

№84. . Ответ: –1.

№85. . Указание: замена х +11= t ⁴. Ответ: .

№86. . Ответ: .

№87. . Ответ: .

№88. . Ответ: .

№89. . Ответ: 1.

№90. . Ответ: 0.

№91. . Ответ: 0.

№92. . Ответ: .

№93. . Ответ: .

 

Дополнительные задания

Найти пределы:

№94. . Ответ: .

№95. . Ответ: 2.

№96. . Ответ: .

№97. . Ответ: –1.

№98. . Ответ: 2.

№99. . Ответ: .

№100. . Ответ: 1.

№101. . Ответ: 0.

№102. . Ответ: .

№103. . Ответ: 3.

№104. . Ответ: .

№105. . Ответ: .

№106. . Ответ: .

№107. . Ответ: .

№108. . Ответ: .

№109. . Ответ: .

№110. . Ответ: .

№11 . Ответ: 0.

№112. . Ответ: .

№113. . Ответ: 5.

№114. . Ответ: .

№115. . Ответ: 1.

№116. . Ответ: 1.

№117. . Ответ: .

№118. . Ответ: .

№119. . Ответ: .

№120. . Ответ: .

№121. . Ответ: .

№122. . Ответ: 1.

 

Занятие 4

Замечательные пределы

Цели

Знать:

v Замечательные пределы и их следствия.

Уметь:

v Вычислять пределы, используя замечательные пределы.

 

Первый замечательный предел

(29).

Следствия

,

, ,

, ,

, .

Второй замечательный предел

, , (30)

где е — число Эйлера.

Следствия

;

, ; ;

; , (а =const).

 

Постановка задачи. Найти .

План решения. Для того чтобы найти данный предел следует вычислить и ;

1) если существуют конечные пределы ; , то ;

2) если и , то С находится с помощью формул:

3) если и , то положив , где при , получим:

= .

 

№14. Найти пределы:1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) .

► 1) . Воспользуемся первым замечательным пределом:

;

2) . Вычислим пределы двух функций:

,

т.к. пределы существуют и они конечны, то =3²;

3) . Вычислим пределы двух функций:

,

тогда для нахождения исходного предельного выражения воспользуемся формулой:

т.е. имеем , следовательно =0;

4) . Вычислим пределы двух функций:

т.е. имеем неопределенность . Для раскрытия данной неопределенности воспользуемся вторым замечательным пределом, т.е.:

= = ;

5) . Введем замену:

Тогда, =