Функция, её простейшие свойства

1. Кривая пересекается прямой х = а в двух точках. Может ли она являться графиком некоторой функции?

2. Может ли график функции быть симметричным:

а) относительно оси абсцисс; б) относительно оси ординат?

3. Является ли графиком какой-либо функции множество точек координатной плоскости, изображённое на рис.2.

а) б)

в) г)

рис.2

 

4. Какие из функций, графики которых изображены на рис.3: а) имеют обратную; б) являются монотонными; в) являются возрастающими; г) являются убывающими?

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

рис.3

 

5. Можно ли утверждать, что функция y =tg x возрастает в своей области определения?

6. Укажите, какие из следующих утверждений верны:

а) сумма возрастающих функций есть функция возрастающая;

б) разность возрастающих функций есть функция возрастающая;

в) произведение двух возрастающих функций есть функция возрастающая;

г) всякая монотонная функция имеет обратную;

д) всякая убывающая функция имеет обратную;

е) если функция имеет обратную, то она или возрастает, или убывает;

ж) функция y = tg x имеет обратную;

з) функция y = log_a x имеет обратную;

и) если функция возрастает, то и обратная к ней функция возрастает?

7. Функция возрастает на каждом из промежутков:

а) [ –1; 0) и [0; 1]; б) [ –1; 0] и [0; 1]. Обязательно ли она возрастает на отрезке [ –1; 1]?

8. Пусть y = f (x) — возрастающая функция и . Будет ли возрастающей функция: а) , k >0;

б) , k <0; в) y = f (x)+ a; г) y = a – f (x); д) ?

9. Какие из функций, графики, которых изображены на рис.3, являются чётными, нечетными?

10. Областью определения чётной функции является промежуток [ a; b ]. Что можно сказать о числах а и b?

11. Известно, что функция y = f (x) нечётная и точка х =0 принадлежит её области определения. Чему равно значение функции в этой точке?

12. Существует ли нечётная функция, принимающая только положительные значения?

13. Существуют ли функции, являющиеся одновременно и чётными и нечётными?

14. Верно ли утверждение:

а) сумма и разность чётных функций есть функция чётная;

б) произведение и частное чётных функций есть функция чётная;

в) сумма нечётных функций есть функция нечётная;

г) произведение нечётных функций есть функция нечётная;

д) сумма чётной и нечётной функций есть чётная?

15. Можно ли подобрать коэффициенты а, b, c, d так, чтобы функция f (x) = a x ³ + b x ² + c x + d была:

а) чётной; б) нечётной; в) и чётной и нечётной; г) возрастающей; д) убывающей?

16. Может ли возрастающая функция быть: а) чётной; б) нечётной; в) периодической?

17. Может ли чётная функция иметь обратную?

18. Функция y = f (x) имеет наименьший положительный период Т. Какой наименьший положительный период имеет функция: а) y = f (x + a); б) y = f (w x), ; в) y = k f (x), ; г) y = f (x)+ a?

19. Имеет ли функции наименьший положительный период, если имеет, чему он равен: а) ; б) у = 2; в) y = cos x; г) .

20. Может ли сумма периодических функций быть функцией непериодической?

 

Предел и непрерывность функции в точке

1. На рис.4 изображён график функции y = f (x),

рис.4

 

а) имеет ли эта функция точки разрыва?

б) чему равны значения функции в тех точках разрыва, где она определена?

в) имеет ли функция предел в каждой из точек разрыва?

г) какие условия непрерывности нарушены в точке разрыва?

2. Пусть х ₀ — точка разрыва функции y = f (x). Следует ли отсюда, что:

а) точка х ₀ не входит в область определения y = f (x);

б) не существует ?

3. Существует ли функция, которая в точке х ₀: а) имеет предел, но не определена; б) определена, но не имеет предел; в) определена, имеет предел, но разрывна?

4. Функция y = f (x) непрерывна в точке х ₀. Можно ли утверждать, что в этой точке непрерывна функция: а) y = f ²(x); б) ; в) ; г) y = k f (x)?

5. Сколько разрывов имеет функция: а) ; б) ; в) г)

6. При каком значении а функция

будет всюду непрерывной?

7. Функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ] и f (a) f (b)<0. Следует ли отсюда, что уравнение f (x)=0: а) имеет корень на [ a; b ]; б) имеет единственный корень на [ a; b ]?

8. Функция не обращается в нуль в своей области определения. Следует ли отсюда, что функция имеет один и тот же знак при всех х из области определения?

Примерный вариант контрольной работы

 

Вариант 1

№1. Найти пределы: 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

№2. Для данной функции

найти а) точки разрыва; б) скачок функции в каждой точке разрыва; в) сделать чертёж.

 

Вариант 2.

№1. Найти пределы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

№2. Для данной функции

найти: а) точки разрыва; б) найти скачок функции в каждой точке разрыва; в) сделать чертеж.

 

Литература

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике М.: «Высшая школа», 2002 – 466 с.
2. Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. - Минск «Вышэйшая школа», 1967. – 529 с.
3. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.I. – М: Высш.шк., 1996. – 304 с.
4. Лихолетов И.И., И.П. Мацкевич Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. – Минск «Вышэйшая школа», 1969. – 452 с.
5. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс – 2-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2003. – 576с.:ил.
6. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. – Санкт-Петербург «Лань», 2001 – 721 с.
7. Практикум по высшей математике для экономистов Под ред. Проф. Н.Ш. Кремера, - М.: Дана, 2002390 с.
8. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. проф.В.И. Ермакова М.: Инфра-М, 2003 – 526 с.

 

Содержание

Предисловие…………………………………………………….3

Занятие 1

Основные элементарные функции…………………………………….4

Занятие 2

Числовая последовательность. Предел последовательности……………..9

Занятие 3

Предел функции. Раскрытие неопределённостей вида , ………..18

Занятие 4

Замечательные пределы………………………………….….………31

Решение ИДЗ

«Вычисление пределов»…………………………………………….35

Занятие 5

Вычисление пределов при использовании эквивалентностей…………..40

Занятие 6

Обзорное занятие…………………………………………….…….46

Занятие 7

Непрерывность функции……………………………………………49

Контрольные вопросы ………………………………….…….56

Примерный вариант контрольной работы ………………..64

Литература ……………………………………………….…….65