Числовая последовательность.

Цели

Знать:

v Определение функции, её области определения и области значений;

v способы задания функций;

v основные характеристики функции;

v понятие обратной функции;

v понятие сложной функции.

Уметь:

v Строить графики основных элементарных функций.

 

▼ Пусть даны два непустых множества X и Y. Соответствие f, которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент , называется функцией и записывается

y=f(x) или (1). ▲

Множество Х называется областью определения функции f и обозначается D (f).

Множество всех называется множеством значений функции f и обозначается E (f).

 

Основные характеристики функции

1. Функция у=f (x), определённая на множестве D, называется

· чётной, если выполняются условия и f (–x) =f (x) (2);

· нечётной, если выполняются условия и f (–x)= – f (x) (3).

Фцнкция у=f (x), определённая на множестве D, не являющаяся ни четной, ни нечётной называется функцией общего вида.

Пример. Чётные функции: f (x) =x ^{2 n}, y=cos x. Нечётные функции: f (x) =x ^{2 n – 1}, y=sin x.

2. Пусть функция у=f (x), определёна на множестве D и пусть . Если для любых значений аргументов из неравенства x ₁ <x ₂ вытекает неравенство:

· f (x ₁) <f (x ₂), то функция называется возрастающей на множестве D ₁ (4);

· , то функция называется неубывающей на множестве D ₁ (5);

· f (x ₁) >f (x ₂), то функция называется убывающей на множестве D ₁ (6);

· , то функция называется невозрастающей на множестве D ₁ (7).

3. Функцию у=f (x), определённую на множестве D, называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число M >0, что для всех выполняется неравенство:

(8).

4. Функция у=f (x), определённая на множестве D, называется периодической на этом множестве, если существует такое число T >0, что при каждом значение и

f (x+T) =f (x) (9).

Пример. Функции у=sin x, у=cos x имеют период , у=tg x, у=ctg x имеют период .

Функция φ (у) называется обратной к функции f (x), если для всякого выполняется φ (f (x))= x и для всякого выполняется f (φ (y)) и записывается в следующем виде:

x=φ (y) =f ^{- – 1}(y) (10).

 

Основные элементарные функции

1) степенная функция

();

2) показательная функция

у=а^х (а >0, a 1);

3) логарифмическая функция

y= log _ax (a >0, a 1);

4) тригонометрические функции

y= sin x, y= cos x, y= tg x, y= ctg x;

5) обратные тригонометрические функции

y= arcsin x, y= arcos x, y= arctg x, y= arcctg x.

 

▼ Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией. ▲

▼ Пусть функция y=f (u) определена на множестве D, а функция u = φ (х) на множестве D ₁, причём соответствующее значение u = φ (х) . Тогда на множестве D ₁ определена функция u=f (φ (х)) которая называется сложной функцией от х (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции). Переменную u = φ (х) называют промежуточным аргументом сложной функции. ▲

Пример. y= sin(lg x); y= tg(3 x +1).

 

№1. Дана функция Найти f (–2); f (0).

► ; . ◄

№2. Найти область определения функции:

а) ; б) y = +arcсos .

► а) Функция принимает действительные значения в тех точках, в которых выражение, стоящее под знаком корня, будет иметь неотрицательные значения, а выражение, находящееся под знаком логарифма — положительным:

Решая первое неравенство , имеем или х ² – 5 х +4 , т.е. .

Решая второе неравенство , имеем 5 x – x ²>0, т.е. .

Решение системы: .

б) Функция определена в тех точках, в которых 3 – х 0 или .

Функция arcсos определена для всех значений х, удовлетворяющих неравенству:

или

откуда или .

Таким образом, данная функция определена на отрезке

[ –1; 3]. ◄

 

№3. Выяснить, какие из данных функций, являются чётными и какие нечётными: а) ; б) g (x)= x +cos x;

в) q (x)= x +sin x.

► Заменяя х на (– х), получаем:

а) = = ,

отсюда следует, что f (– x)= f (x), т.е. функция чётная;

б) g (– x)= – x +cos(– x)= – x +cos x,

отсюда g (– x) g (x); g (– x) – g (x), т.е. функция не является чётной и нечётной (общего вида);

в) q (– x)= – x +sin x = – x – sin x, отсюда q (– x)= – q (x), т.е. функция чётная. ◄

 

Задания для самостоятельного решения

№1. Дана функция f (t)=2 t ³ – 3 t +4. Найти f (–2); f (0); f (1); f (a).

Ответ: f (–2)= –6; f (0)= 4; f (1)=3; f (a)=2 a ³ – 3 a +4.

№2. Дана функция, . Найти ; . В каких точках функция не определена?

Ответ: ; .

Функция не определена в точках .

№3. Дана функция f (x)=sin x. Найти:1) f ²(x)+ ;

2) ; 3) ; 4) f (1); 5) f (–2).

Ответ: 1) 1; 2) tg x; 3) sin 2 x; 4) sin 1; 5) sin(–2).

№4. Найти области определения функции: 1) y =lg(4 – 3 x – x ²); 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) y =arcсos ; 7) y = +lg(sin x); 8) y =log₂(x ² – 7 x +12)+ ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) y =lg(sin x +2).

Ответ: 1) D (y)=(–4; 1); 2) D (y)= R \{ –2; 7};

3) D (y)=[ –1; 2]; 4) D (y)= R \{ 4};

5) D (y)=Æ; 6) D (y)= ; 7) D (y)=[ –5; – ) (0; );

8) D (y)=[1; 3) (4; ); 9) D (y)= , ;

10) D (y)= , ;

11) D (y)= , , 12) D (y)= R.

№5. Найти множество значений функции: 1) , ; 2) , –1< x <0; 3) y =lg x, 10 ;

4) y =3+2 x – x ², –1 5; 5) y =cos x, .

Ответ: 1) ; 2) (– ; –1);

3) [1; 2]; 4) [ –12; 0]; 5) .

№6. Какие из указанных функций чётные, какие нечётные и какие из них не обладают этими свойствами: 1) у =5 ^х; 2) y = x ² 3 ^x; 3) y = x – x ³; 4) y = x ²+3 x +2; 5) у = x ³+2 x +1; 6) y =sin² x; 7) ; 8) y = ; 9) у = x ⁴+ x ² – 5; 10) f (x) =const.

Ответ: Функции 6, 9, 10 — чётные;

функции 3, 8 — нечётные;

функции 1, 2, 4, 5, 7 — общего вида.

№7. Записать сложную функцию у = у (u (v (x))), где:

1) y =sin u; u =lg v; v = ; 2) y =arctg u; u = ; v =lg x.

Ответ: 1) y =sin(lg ); 2) y =arctg().

№8. Сложную функцию у записать в виде цепочки равенств:

1) у =(2 х – 5)¹⁰; 2) y =lg .

Ответ: 1) y = u ¹⁰; u =2 x – 5; 2) y =lg v; v =tg w; w = .

Занятие 2

Цели

Знать:

v Определение последовательности; бесконечно малой и бесконечно большой последовательности;

v определение предела числовой последовательности;

v основные свойства и операции над пределами последовательностей.

Уметь:

v Вычислять предел последовательности, используя основные свойства и операции над пределами последовательностей.

 

Под числовой последовательностью х ₁, х ₂, х ₃, …, х_n, … понимается функция

x_n=f (n), (11)

заданная на множестве натуральных чисел.

 

Пример. Если известен общий член последовательности x_n = , то соответствующая последовательность будет: 1, , , , …, , …

Предел функции.

Раскрытие неопределённостей вида ,

Цели

Знать:

v Определение предела;

v признаки существования пределов;

v основные теоремы о пределах.

Уметь:

v Применять основные теоремы о пределах;

v применять признаки существования пределов при вычислении предела функции;

v вычислять пределы, раскрывая неопределённости вида , .

 

Определение («на языке последовательностей», или по Гейне)

Число А называется пределом функции y=f (x)в точке х ₀ (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента x_n, , сходящейся к х ₀ (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции f (x_n), сходится к числу А (т.е. ).

 

Определение (на «языке ε-δ», или по Коши»)

Число А называется пределом функции y=f (x)в точке х ₀ (или при , т.е. ), если для любого положительно ε найдётся такое положительное число δ, что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

(22).

Следствие. Функция может иметь только один предел при .

Теорема 2. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

(23).

Теоремы 1 и 2 справедливы для любого конечного числа функций.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

(24).

Следствие. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

(25).

Следствие. (26).

Теорема. Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

, () (27).

При нахождении пределов применяют соотношения:

, (k =const); ;

; ;

;

;

(28).

 

Постановка задачи. Найти .

План решения. Для того чтобы найти вычисляем f (х ₀), при этом:

• если данное выражение имеет смысл, то предел равен этому выражению;
• если в результате вычислений нет неопределённостей, воспользуемся одним из соотношений (28).

 

№9. Найти пределы: 1) ; 2) ;

3) .

► 1) Применяя теоремы о пределах, получаем:

= =

= ;

2) Пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю. Пользуясь теоремой о пределе частного, находим: = ;

3) Непосредственно применять теорему о пределе частного нельзя, так как предел знаменателя равен нулю (в знаменателе есть бесконечно малая величина при ). В числителе имеем ограниченную величину, отличную от нуля. Таким образом, под знаком предела будет произведение ограниченной величины , отличной от нуля, на бесконечно большую величину при как величину, обратную бесконечно малой. Поэтому . ◄

 

Постановка задачи. Найти , где или .

План решения. Для того чтобы найти вычисляем f (х ₀), если в результате вычислений получилась неопределённость или , следует применить соответствующие правила для раскрытия данных неопределённостей.

Неопределённость вида

• Для того чтобы разрешить неопределённость вида , до вычисления предела средствами алгебры в числителе и знаменателе выделяем множитель и сокращаем на него, т.к. .

· Чтобы раскрыть неопределённость , в которой числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует соответствующим образом избавиться от иррациональности.

Неопределённость вида

• Если числитель и знаменатель, сложные степенные функции: необходимо вынести за скобку в числителе и знаменателе дроби неизвестное с наибольшим показателем степени среди всех слагаемых дроби; после сокращения дроби неопределённость устраняется.

Частный случай: предел рационального выражения вида

при будем рассматривать как предел частного двух многочленов, который равен:

• Если числитель и знаменатель, сложные показательные функции: за скобку вынести наиболее быстро возрастающее слагаемое среди всех слагаемых дроби; после сокращения дроби неопределённость устраняется.

 

№10. Найти пределы: 1) ;

2) ; 3) .

► 1) = , для раскрытия данной неопределенности средствами алгебры разложим числитель и знаменатель на множители:

,

сократим множитель (х – 3) имеем:

= ;

2) . Данное предельное выражение содержит иррациональность в числителе, следовательно, домножим дробь на сопряженное выражение, т.е. на , тогда:

.

В числителе последнего выражения получилась формула — разность квадратов, таким образом:

;

3) , для раскрытия данной неопределенности сделаем замену:

тогда исходное пределное выражение имеетвид:

,

которое раскрывается по известным правилам, т.е.:

= = . ◄

 

№11. Найти пределы: 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

► 1) , для раскрытия данной неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на х ², тогда:

= ;

2) , для раскрытия данной неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на х ³, тогда:

;

3) , для раскрытия данной неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на n ⁴, тогда:

= = ;

4) = , для раскрытия данной неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на n, тогда:

= =0. ◄

 

№12. Найти пределы: 1) ;

2) ; 3) .

► Данные предельные соотношения можно рссмотреть, как частное двух многочленов, т.е:

1) = =2;

2) ;

3) .◄

 

Постановка задачи. Найти .

План решения. Для того чтобы найти вычисляем f (х ₀), если в результате вычислений получилась одна из неопределённостей , или др., то данные неопределённости раскрываются путём преобразования и сведения их к неопределённости или .

 

№13. Найти пределы: 1) ; 2) .

► 1) , данное предельное выражение преобразум таким образом:

= ;

2) Рассмотрим два случая:

а) . Перенеся иррациональность из числителя в знаменатель, получим:

= =

= =0;

б) . ◄

 

Аудиторные задания

Найти пределы:

№51 . Ответ: 5.

№52 . Ответ: .

№53. . Ответ: 0.

№54. . Ответ: .

№55. . Ответ: 2.

№56. . Ответ: – .

№57. . Ответ: .

№58. . Указание: замена: x = t ⁶. Ответ: .

№59. . Ответ: 0.

№60. . Ответ: .

№61. . Ответ: .

№62. . Ответ: –9.

№63. . Ответ: .

№64. . Ответ: .

№65. . Ответ: .

№66. . Ответ: 4.

№67. . Ответ: .

№68. . Ответ: .

№69. . Ответ: 0.

 

Домашние задания

Найти пределы:

№70. . Ответ: 40.

№71. . Ответ: .

№72. . Ответ: 4.

№73. . Ответ: 0.

№74. . Ответ: .

№75. . Ответ: .

№76. . Ответ: .

№77. . Ответ: 1.

№78. . Ответ: .

№79. . Ответ:1.

№80. . Ответ: .

№81. . Ответ: .

№82. . Ответ: .

№83. . Ответ: .

№84. . Ответ: –1.

№85. . Указание: замена х +11= t ⁴. Ответ: .

№86. . Ответ: .

№87. . Ответ: .

№88. . Ответ: .

№89. . Ответ: 1.

№90. . Ответ: 0.

№91. . Ответ: 0.

№92. . Ответ: .

№93. . Ответ: .

 

Дополнительные задания

Найти пределы:

№94. . Ответ: .

№95. . Ответ: 2.

№96. . Ответ: .

№97. . Ответ: –1.

№98. . Ответ: 2.

№99. . Ответ: .

№100. . Ответ: 1.

№101. . Ответ: 0.

№102. . Ответ: .

№103. . Ответ: 3.

№104. . Ответ: .

№105. . Ответ: .

№106. . Ответ: .

№107. . Ответ: .

№108. . Ответ: .

№109. . Ответ: .

№110. . Ответ: .

№11 . Ответ: 0.

№112. . Ответ: .

№113. . Ответ: 5.

№114. . Ответ: .

№115. . Ответ: 1.

№116. . Ответ: 1.

№117. . Ответ: .

№118. . Ответ: .

№119. . Ответ: .

№120. . Ответ: .

№121. . Ответ: .

№122. . Ответ: 1.

 

Занятие 4

Замечательные пределы

Цели

Знать:

v Замечательные пределы и их следствия.

Уметь:

v Вычислять пределы, используя замечательные пределы.

 

Первый замечательный предел

(29).

Следствия

,

, ,

, ,

, .

Второй замечательный предел

, , (30)

где е — число Эйлера.

Следствия

;

, ; ;

; , (а =const).

 

Постановка задачи. Найти .

План решения. Для того чтобы найти данный предел следует вычислить и ;

1) если существуют конечные пределы ; , то ;

2) если и , то С находится с помощью формул:

3) если и , то положив , где при , получим:

= .

 

№14. Найти пределы:1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) .

► 1) . Воспользуемся первым замечательным пределом:

;

2)