Монотонные последовательности. Число e.

Теорема: всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится (т.е. имеет конечный предел).

Последовательность х_n= монотонно возрастает и ограничена сверху числом М=3 и предел этой последовательности по определению равен e, т.е. e.

Данный предел носит название второго замечательного предела и используется для раскрытия неопределенности вида (1 ).

 

Функция. Предел функции.

Пусть Х и У – некоторые множества и каждому элементу х Х поставлено в соответствие по некоторому правилу у У. говорят, что задана функция у=f(x) на множестве Х со значениями во множестве У.

х – аргумент функции

Х – область определения

У- область значений.

Если Х и У-множество действительных чисел, то говорят о числовой функции. примерами числовых функций являются линейная (у=ах+b), тригонометрическая (у=cos x),…

Функции могут быть заданы с помощью формул, таблиц, словесно и т.д.

Рассмотрим поведение функции при условии, что х стремится к числу а (х а)

Определение: число b называется пределом функции у=f(x) при х а, если для любой последовательности аргументов х₁,х₂,…х_n,…(х_n а), сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции у(х₁), у(х₂),…у(х_n),… сходится к b.

Обозначается:

Пример:

Основные теоремы о функциях, имеющих предел, аналогичны теоремам для сходящихся последовательностей.

неопределенности и способы их раскрытия для функций определяются аналогично последовательностям.

Замечательные пределы функции

Для вычисления пределов функций и раскрытия неопределенностей используют 2 замечательных предела и их следствия, которые отразим в следующей таблице.

 

Таблица замечательных пределов

1. первый замечательный предел	7.
2.	8.
3.	9. , где α-вещественный параметр
4.	10.
5.	11. -второй замечательный предел
6.	12.

 

Пример: Найти предел

= x²+ =0+ =2 =2

При решении использовалось свойство для вычисления предела суммы двух функций и первый замечательный предел.

 

Бесконечно малые функции. Метод эквивалентных бесконечно малых величин.

Определение: Функция α(х) называется бесконечно малой при х , если она имеет предел, причем этот предел равен нулю, т.е. α(х)=0.

Бесконечно малые функции могут стремиться к нулю по-разному или. как говорят, с разной скоростью. Поэтому их принято сравнивать между собой в зависимости от того, как ведет себя их отношение.

Пусть α(х) и β(х) – две бесконечно малые (б.м.) функции при х .

Определение: Б.м. α(х) и β(х) называют б.м. одного порядка малости, если существует предел , причем А 0.

Пример:

Получаем, что б.м. функции х² и 1-cosx имеют один порядок малости.

Определение: Две б.м. функции α(х) и β(х) называются эквивалентными при х , если предел их отношения равен 1, т.е. .

Примерами эквивалентных б.м. функций являются пары функций, приводящие к замечательным пределам (см.таблицу).

Эквивалентность б.м. обозначается символом ~

 

Таблица эквивалентных величин (при х )

1. sinx~x	6. ln(1+x)~x
2. arcsinx~x	7. a^x~x·lna, a 1,a>0
3.tgx~x	8. loga(1+x)~x/lna, a 1,a>0
4.arctgx~x	9. (1+x)^α-1~αx,α R
5. e^x-1~x	10. 1-cosx~x^2/2

Практическое значение таблицы определяется следующей теоремой

Теорема: Пустьα(х) ~ α₁(х), β(х) ~ β₁(х) и существует . Тогда существует и предел , причем = .

Пример: Найти предел

Т.к. sin2x~2х при х , то = =0+2=2

 

Непрерывность функции

 

Пусть функция у=f(х) определена в некоторой окрестности точки а, включая саму точку а.

Определение: Функция у=f(х) называется непрерывной в точке а, если:

1) она определена в точке а;

2) существует

3) .

Если хотя бы одно из условий не выполняется, то говорят, что функция у=f(x) имеет разрыв в точке а, а сама точка а называется точкой разрыва.

Обозначим х-х₀ = у-у₀= у. тогда определение непрерывности можно сформулировать по-другому: функция называется непрерывной а точке х, если из условия следует, что и у .

Утверждение: Все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.