Свойства непрерывных функций

Пусть функции f(x) и y(x) непрерывны в точке а, с-любое число. Тогда функции сf(x), f(x)±y(x), f(x)·y(x), (y(x)≠0) также непрерывны.

Свойства непрерывных функций отражают 2 теоремы. Известные как теоремы Вейерштрасса.

Определение: Функция у=f(х), определенная на отрезке , называется ограниченной на этом отрезке, если найдется число М>0 такое, что для любого х выполняется неравенство .

Первая теорема Вейерштрасса: Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

Определение: Значение f(x₀), где х₀ , называется наибольшим значением функции на отрезке, если для любой точки х справедливо неравенство f(x)≤f(x₀).

Максимальное значение функции в точке обозначают , а саму точку – х_max

Аналогично определяется минимальное значение функции в точке.

Вторая теорема Вейерштрасса: Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то она принимает на этом отрезке как свое максимальное, так и свое минимальное значение.

 

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Разность х-х₀ называется приращением аргумента и обозначается т.е. =х-х₀, тогда близкая к х₀ точка х=х₀+ .

Приращением функции у=f(х) в точке х₀ называется разность у=f(х₀+ )-f(x₀).

Если существует предел отношения у к приращению в этой точке, когда приращение аргумента стремится к нулю, то этот предел называется производной функции в точке х₀ и обозначается у^/(х₀).

Производную функции можно обозначать символами: у^/, , .

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием функции.

Из равенства dy – дифференциал функции.

С геометрической точки зрения производная – это угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке.

С физической точки зрения производная – это скорость изменения функции по отношению к изменению аргумента.

Определение: Если у=f(u) есть функция аргумента u, u=u(x) есть функция аргумента х, то y=f(u(x)) есть сложная функция от х.

Производная сложной функции вычисляется по формуле

 

 

Правила дифференцирования

1.

2.

3.

4.

 

Таблица производных элементарных функций

1. В частности ;

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Здесь а= const, u-u(x)/если u(x)=x, то .

Правило Лопиталя – Бернулли применяется для раскрытия неопределенностей при вычислении пределов функции:

, т.е. если функции дифференцируемы, то предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Если после применения правила Лопиталя неопределенность сохраняется, то правило следует применить еще раз.

Пример: В этом примере правило Лопиталя использовали три раза.