Свойства сходящихся последовательностей

Министерство труда, занятости и социальной защиты РТ

Государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Колледж малого бизнеса и предпринимательства»

 

 

Методические указания

по математике

для заочного отделения

специальности 260807 «Технология продукции общественного питания»

 

 

Разработала: преподаватель

Корнеева Наталья Сергеевна

 

 

Казань 2012

Содержание

1. Введение
2. Общие рекомендации

1) Чтение учебника

2) Решение задач

3) Самопроверка.

1. Правила выполнения и оформления контрольных работ
2. Программа и методические указания к контрольной работе по темам:

1) Последовательности

2) Функция, предел функции

3) Производные и дифференциалы

4) Численное интегрирование

1. Задания для контрольной работы
2. Литература

 

 

Введение

В настоящее время математические методы широко используются для решения самых разнообразных задач науки, техники и экономики. Значение этих методов существенно выросло в связи с массовым применением во всех отраслях электронно- вычислительных машин.

Математика является фундаментальной дисциплиной. Цель ее преподавания в учреждении среднего профессионального образования предусматривает:

- развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры;

- познакомить студентов с математическим аппаратом. Необходимым для изучения общенаучных дисциплин;

- выработать у студентов умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и ее приложениям;

- выработать навыки к математическому исследованию прикладных задач.

 

Общие рекомендации

студенту-заочнику по работе над курсом математики

 

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебнику, решение задач. Самопроверка. Выполнение контрольных работ. Во время сессий студенты слушают лекции, посещают практические занятия. Сдают устные зачеты и экзамены. При самостоятельном изучении учебного материала можно использовать следующие рекомендации.

 

Чтение учебника

1. Каждый следующий вопрос должен изучаться только после правильного понимания предыдущего.

2. Особое внимание следует обращать на определение основных понятий. Их следует знать точно, а также подробно разбирать примеры, которые поясняют такие определения и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно.

3. При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется вписывать определения, формулировки теорем, уравнения и т.д. На полях конспекта необходимо отмечать вопросы, на которые необходимо получение устной или письменной консультации преподавателя.

4. Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется подчеркивать или обводить рамкой, чтобы при перечитывании они выделялись и лучше запоминались. Полезно составить лист, содержащий важнейшие и наиболее часто употребляемые формулы курса. Такой лист поможет запомнить эти формулы, а также послужит постоянным справочником.

 

Решение задач

 

1. Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь.
2. Решение задач и примеров следует излагать подробно, обосновывая каждый этап решения теоретическими положениями курса. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями.
3. В промежуточных вычислениях не следует вводить приближенные значения корней, чисел π,e и т.п. Следует обратить внимание. Соответствует ли ответ существу данной задачи.

 

Самопроверка

При изучении математики большое значение имеет проверка правильности понимания, усвоения и выполнения задания. Необходимо научиться самопроверке. При этом приемы самоконтроля могут быть различные:

- проверка правильности усвоения материала путем сравнения своих формулировок с данными в учебнике (если свои записаны);

- проверка результатов решения задачи по готовому ответу, а еще лучше по готовому решению, когда сразу видно, в каких местах есть пробелы;

- проверка результатов решения по аналогичному решению;

- проверка результата с помощью обратных действий.

 

Требования к выполнению и оформлению письменной контрольной работы

 

При выполнении контрольной работы необходимо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.

 

1. Контрольная работа выполняется в школьной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного. Следует пронумеровать страницы и оставить на них поля 4-5 см для замечаний преподавателя.
2. На обложке тетради должен быть приклеен титульный лист утвержденного образца или аккуратно записаны все данные титульного листа: шифр; фамилия, имя, отчество студента; предмет и номер работы. Здесь же следует указать название учебного заведения, дату отсылки работы и адрес студента. В конце работы следует проставить дату ее выполнения и расписаться.
3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании строго по положенному варианту. Контрольные работы, содержащие не все задачи задания, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.
4. Решение задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач данной методички.
5. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие.
6. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу и делая необходимые чертежи.
7. Если сданная на проверку работа не зачтена, то обязательно выполняется работа над ошибками. Работа над ошибками делается в той же тетради, где записана не зачтенная контрольная работ, после рецензии преподавателя и повторно сдается на проверку. Если в тетради закончились чистые листы, то в тетрадь вставляется новая и прошивается вместе с основной тетрадью.
8. Выполненная работа сдается методисту СПО до начала сессии.

 

Теория к контрольной работе

Последовательности

Пусть задан занумерованный бесконечный набор чисел х_1,х_2,…,х_n,…. Это значит, что всякому натуральному числу n=1,2,… поставлено в соответствие по определенному закону число х_n.

Определение: Всякий занумерованный бесконечный набор чисел х_1,х_2,…,х_n,… называется числовой последовательностью.

Пример: 1) Последовательность всех четных натуральных чисел

2,4,6,….2n,…

2) Последовательность всех квадратов натуральных чисел

1,4,9,16,…n²,…

Обозначают: х_n, n=1,2,… или

Х_n называется общим членом последовательности.

 

Способы задания последовательностей

1. Чаще всего последовательность задают формулой общего члена.

Пример: х_n= , n=1,2,…

1. Рекуррентный способ, когда в явном виде задаются один или несколько первых членов последовательности и указывается формула, которая позволяет выразить последующие члены через предыдущие.

Пример: х₁=х₂=1, х_n=x_n-1+x_n-2

1. Последовательность может быть задана словесно.

Пример: последовательность простых чисел

2,3,5,7,11,13,17,19,23,… (т.е. можно указать саму последовательность, но для нее нет общего члена)

Определение: последовательность называется монотонно возрастающей, если для любого n выполняется неравенство х_n<х_n-1, т.е. каждый следующий член больше предыдущего.

Определение: Числовая последовательность называется ограниченной, если найдется число ε>0 такое, что дл всех номеров n=1,2,…выполняется равенство .

Определение: Числовая последовательность называется неограниченной, если какое бы большое число ε>0 ни взять, всегда найдется номер n такой, что .

Определение: Неограниченная последовательность, для которой неравенство выполняется сплошь для всех n, больших некорого номера, зависящего от ε, называются бесконечно большими (б.б.), т.е.

Пример:

Определение: числовая последовательность называется бесконечно малой(б.м.), если

Предел последовательности

Рассмотрим последовательность х_n= , n=1,2,…

:1, …,т.е. члены этой последовательности с увеличением номера приближаются к нулю. Если рассмотреть другую последовательность, то там может быть другое число, к которому приближаются члены последовательности.

Определение: Число А называется пределом последовательности х_n, n=1,2…, если разность α_n=х_n-А является б.м. последовательностью.

Обозначается предел символом

Замечание: предел постоянной равен самой постоянной.

Последовательности, имеющие предел, называются сходящимися; в противном случае последовательность называется расходящейся.

Теорема 1: Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Заметим, что из определения можно сделать вывод, что б.м. последовательности – это те и только те, предел которых равен нулю, т.е. сказать, что х_n,n=1,2… - б.м. и - одно и то же.

Функция. Предел функции.

Пусть Х и У – некоторые множества и каждому элементу х Х поставлено в соответствие по некоторому правилу у У. говорят, что задана функция у=f(x) на множестве Х со значениями во множестве У.

х – аргумент функции

Х – область определения

У- область значений.

Если Х и У-множество действительных чисел, то говорят о числовой функции. примерами числовых функций являются линейная (у=ах+b), тригонометрическая (у=cos x),…

Функции могут быть заданы с помощью формул, таблиц, словесно и т.д.

Рассмотрим поведение функции при условии, что х стремится к числу а (х а)

Определение: число b называется пределом функции у=f(x) при х а, если для любой последовательности аргументов х₁,х₂,…х_n,…(х_n а), сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции у(х₁), у(х₂),…у(х_n),… сходится к b.

Обозначается:

Пример:

Основные теоремы о функциях, имеющих предел, аналогичны теоремам для сходящихся последовательностей.

неопределенности и способы их раскрытия для функций определяются аналогично последовательностям.

Таблица замечательных пределов

1. первый замечательный предел	7.
2.	8.
3.	9. , где α-вещественный параметр
4.	10.
5.	11. -второй замечательный предел
6.	12.

 

Пример: Найти предел

= x²+ =0+ =2 =2

При решении использовалось свойство для вычисления предела суммы двух функций и первый замечательный предел.

 

Бесконечно малые функции. Метод эквивалентных бесконечно малых величин.

Определение: Функция α(х) называется бесконечно малой при х , если она имеет предел, причем этот предел равен нулю, т.е. α(х)=0.

Бесконечно малые функции могут стремиться к нулю по-разному или. как говорят, с разной скоростью. Поэтому их принято сравнивать между собой в зависимости от того, как ведет себя их отношение.

Пусть α(х) и β(х) – две бесконечно малые (б.м.) функции при х .

Определение: Б.м. α(х) и β(х) называют б.м. одного порядка малости, если существует предел , причем А 0.

Пример:

Получаем, что б.м. функции х² и 1-cosx имеют один порядок малости.

Определение: Две б.м. функции α(х) и β(х) называются эквивалентными при х , если предел их отношения равен 1, т.е. .

Примерами эквивалентных б.м. функций являются пары функций, приводящие к замечательным пределам (см.таблицу).

Эквивалентность б.м. обозначается символом ~

 

Таблица эквивалентных величин (при х )

1. sinx~x	6. ln(1+x)~x
2. arcsinx~x	7. a^x~x·lna, a 1,a>0
3.tgx~x	8. loga(1+x)~x/lna, a 1,a>0
4.arctgx~x	9. (1+x)^α-1~αx,α R
5. e^x-1~x	10. 1-cosx~x^2/2

Практическое значение таблицы определяется следующей теоремой

Теорема: Пустьα(х) ~ α₁(х), β(х) ~ β₁(х) и существует . Тогда существует и предел , причем = .

Пример: Найти предел

Т.к. sin2x~2х при х , то = =0+2=2

 

Непрерывность функции

 

Пусть функция у=f(х) определена в некоторой окрестности точки а, включая саму точку а.

Определение: Функция у=f(х) называется непрерывной в точке а, если:

1) она определена в точке а;

2) существует

3) .

Если хотя бы одно из условий не выполняется, то говорят, что функция у=f(x) имеет разрыв в точке а, а сама точка а называется точкой разрыва.

Обозначим х-х₀ = у-у₀= у. тогда определение непрерывности можно сформулировать по-другому: функция называется непрерывной а точке х, если из условия следует, что и у .

Утверждение: Все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

Правила дифференцирования

1.

2.

3.

4.

 

Таблица производных элементарных функций

1. В частности ;

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Здесь а= const, u-u(x)/если u(x)=x, то .

Правило Лопиталя – Бернулли применяется для раскрытия неопределенностей при вычислении пределов функции:

, т.е. если функции дифференцируемы, то предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Если после применения правила Лопиталя неопределенность сохраняется, то правило следует применить еще раз.

Пример: В этом примере правило Лопиталя использовали три раза.

Варианты контрольной работы

1-13. Вычислите указанные пределы.

1. а) б)

2. а) б)

3. а) б)

4. а) б)

5. а) б)

6. а) б)

7. а) б)

8. а) б)

9. а) б)

10. а) б)

11. а) б)

12. а) б)

13. а) ; б)

14-26. Найти производную данных функций.

1. а) y=arctg ;

2. а) ;

3. а)

4. а)

5. а)

6. а)

7. а)

8. а)

9. а)

10. а) ;

11. а)

12. а)

13. а)

27-39. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=f(x) на отрезке .

1. на отрезке

2. на отрезке

3. на отрезке

4. на отрезке

5. на отрезке

6. на отрезке

7. на отрезке

8. на отрезке

9. на отрезке

10. на отрезке

11. на отрезке

12. на отрезке

13. на отрезке

Список литературы

Основная литература

1.Григорьев С.Г., Задулина С.В. Математика. - М.: Издательский центр «Академия», 2005.-384с.

2.Григорьев В.П. Элементы высшей математики. - М.: Издательский центр «Академия»,2004.

 

Дополнительная литература

1. Виленкин Н.Я., Шварцбурд С.И. Математический анализ.- М., «Просвещение»,1973.

2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах.Ч.1,2.-М.:Высш.школа,1999.

Министерство труда, занятости и социальной защиты РТ

Государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Колледж малого бизнеса и предпринимательства»

 

 

Методические указания

по математике

для заочного отделения

специальности 260807 «Технология продукции общественного питания»

 

 

Разработала: преподаватель

Корнеева Наталья Сергеевна

 

 

Казань 2012

Содержание

1. Введение
2. Общие рекомендации

1) Чтение учебника

2) Решение задач

3) Самопроверка.

1. Правила выполнения и оформления контрольных работ
2. Программа и методические указания к контрольной работе по темам:

1) Последовательности

2) Функция, предел функции

3) Производные и дифференциалы

4) Численное интегрирование

1. Задания для контрольной работы
2. Литература

 

 

Введение

В настоящее время математические методы широко используются для решения самых разнообразных задач науки, техники и экономики. Значение этих методов существенно выросло в связи с массовым применением во всех отраслях электронно- вычислительных машин.

Математика является фундаментальной дисциплиной. Цель ее преподавания в учреждении среднего профессионального образования предусматривает:

- развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры;

- познакомить студентов с математическим аппаратом. Необходимым для изучения общенаучных дисциплин;

- выработать у студентов умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и ее приложениям;

- выработать навыки к математическому исследованию прикладных задач.

 

Общие рекомендации

студенту-заочнику по работе над курсом математики

 

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебнику, решение задач. Самопроверка. Выполнение контрольных работ. Во время сессий студенты слушают лекции, посещают практические занятия. Сдают устные зачеты и экзамены. При самостоятельном изучении учебного материала можно использовать следующие рекомендации.

 

Чтение учебника

1. Каждый следующий вопрос должен изучаться только после правильного понимания предыдущего.

2. Особое внимание следует обращать на определение основных понятий. Их следует знать точно, а также подробно разбирать примеры, которые поясняют такие определения и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно.

3. При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется вписывать определения, формулировки теорем, уравнения и т.д. На полях конспекта необходимо отмечать вопросы, на которые необходимо получение устной или письменной консультации преподавателя.

4. Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется подчеркивать или обводить рамкой, чтобы при перечитывании они выделялись и лучше запоминались. Полезно составить лист, содержащий важнейшие и наиболее часто употребляемые формулы курса. Такой лист поможет запомнить эти формулы, а также послужит постоянным справочником.

 

Решение задач

 

1. Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь.
2. Решение задач и примеров следует излагать подробно, обосновывая каждый этап решения теоретическими положениями курса. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями.
3. В промежуточных вычислениях не следует вводить приближенные значения корней, чисел π,e и т.п. Следует обратить внимание. Соответствует ли ответ существу данной задачи.

 

Самопроверка

При изучении математики большое значение имеет проверка правильности понимания, усвоения и выполнения задания. Необходимо научиться самопроверке. При этом приемы самоконтроля могут быть различные:

- проверка правильности усвоения материала путем сравнения своих формулировок с данными в учебнике (если свои записаны);

- проверка результатов решения задачи по готовому ответу, а еще лучше по готовому решению, когда сразу видно, в каких местах есть пробелы;

- проверка результатов решения по аналогичному решению;

- проверка результата с помощью обратных действий.

 

Требования к выполнению и оформлению письменной контрольной работы

 

При выполнении контрольной работы необходимо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.

 

1. Контрольная работа выполняется в школьной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного. Следует пронумеровать страницы и оставить на них поля 4-5 см для замечаний преподавателя.
2. На обложке тетради должен быть приклеен титульный лист утвержденного образца или аккуратно записаны все данные титульного листа: шифр; фамилия, имя, отчество студента; предмет и номер работы. Здесь же следует указать название учебного заведения, дату отсылки работы и адрес студента. В конце работы следует проставить дату ее выполнения и расписаться.
3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании строго по положенному варианту. Контрольные работы, содержащие не все задачи задания, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.
4. Решение задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач данной методички.
5. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие.
6. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу и делая необходимые чертежи.
7. Если сданная на проверку работа не зачтена, то обязательно выполняется работа над ошибками. Работа над ошибками делается в той же тетради, где записана не зачтенная контрольная работ, после рецензии преподавателя и повторно сдается на проверку. Если в тетради закончились чистые листы, то в тетрадь вставляется новая и прошивается вместе с основной тетрадью.
8. Выполненная работа сдается методисту СПО до начала сессии.

 

Теория к контрольной работе

Последовательности

Пусть задан занумерованный бесконечный набор чисел х_1,х_2,…,х_n,…. Это значит, что всякому натуральному числу n=1,2,… поставлено в соответствие по определенному закону число х_n.

Определение: Всякий занумерованный бесконечный набор чисел х_1,х_2,…,х_n,… называется числовой последовательностью.

Пример: 1) Последовательность всех четных натуральных чисел

2,4,6,….2n,…

2) Последовательность всех квадратов натуральных чисел

1,4,9,16,…n²,…

Обозначают: х_n, n=1,2,… или

Х_n называется общим членом последовательности.

 

Способы задания последовательностей

1. Чаще всего последовательность задают формулой общего члена.

Пример: х_n= , n=1,2,…

1. Рекуррентный способ, когда в явном виде задаются один или несколько первых членов последовательности и указывается формула, которая позволяет выразить последующие члены через предыдущие.

Пример: х₁=х₂=1, х_n=x_n-1+x_n-2

1. Последовательность может быть задана словесно.

Пример: последовательность простых чисел

2,3,5,7,11,13,17,19,23,… (т.е. можно указать саму последовательность, но для нее нет общего члена)

Определение: последовательность называется монотонно возрастающей, если для любого n выполняется неравенство х_n<х_n-1, т.е. каждый следующий член больше предыдущего.

Определение: Числовая последовательность называется ограниченной, если найдется число ε>0 такое, что дл всех номеров n=1,2,…выполняется равенство .

Определение: Числовая последовательность называется неограниченной, если какое бы большое число ε>0 ни взять, всегда найдется номер n такой, что .

Определение: Неограниченная последовательность, для которой неравенство выполняется сплошь для всех n, больших некорого номера, зависящего от ε, называются бесконечно большими (б.б.), т.е.

Пример:

Определение: числовая последовательность называется бесконечно малой(б.м.), если

Предел последовательности

Рассмотрим последовательность х_n= , n=1,2,…

:1, …,т.е. члены этой последовательности с увеличением номера приближаются к нулю. Если рассмотреть другую последовательность, то там может быть другое число, к которому приближаются члены последовательности.

Определение: Число А называется пределом последовательности х_n, n=1,2…, если разность α_n=х_n-А является б.м. последовательностью.

Обозначается предел символом

Замечание: предел постоянной равен самой постоянной.

Последовательности, имеющие предел, называются сходящимися; в противном случае последовательность называется расходящейся.

Теорема 1: Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Заметим, что из определения можно сделать вывод, что б.м. последовательности – это те и только те, предел которых равен нулю, т.е. сказать, что х_n,n=1,2… - б.м. и - одно и то же.

Свойства сходящихся последовательностей

Теорема 2:Пусть х_n и у_n,n=1,2,… - сходящиеся последовательности, т.е. lim x_n=a, limy_n=b.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) для любого числа М последовательность Мх_n тоже сходится, причем (Mx_n)=M x_n=Ma;

2) сумма (разность) х_n и у_n также сходится, причем (x_n y_n)=a b;

3) произведение х_ny_nтакже сходится, причем (x_ny_n)=ab;

4) при условии, что b 0 частное также сходится, причем =

пример:Най