Нормальное уравнение прямой.

Рассмотрим произвольную прямую. Проведем из начала координат перпендикуляр к данной прямой. Пусть Р – основание перпендикуляра (см. рис. 3.3). Вектор является вектором нормали к данной прямой. Если a – угол наклона вектора к оси Ох, а р – расстояние от начала координат до рассматриваемой прямой, т.е. р = ОР, то нормальное уравнение прямой имеет вид

x cos a + y sin a – p = 0. (3.9)

 

Рис. 3.3

 

Заметим, что р не может быть отрицательным, так как это расстояние от точки О до прямой.

Пусть М¢ (х¢, у¢) – произвольная точка плоскости. Выражение называется отклонением точки М¢ от данной прямой. По знаку отклонения d (M¢) можно определить взаимное расположение точек М¢ и О относительно прямой: если d (M¢) > 0, то М¢ и О лежат по разные стороны от прямой; если d (M¢) < 0, то М¢ и О лежат по одну сторону от прямой.

Укажем алгоритм приведения общего уравнения прямой (3.1) к нормальному виду (3.9): для этого надо умножить всё уравнение Ах + Ву + +С = 0 на нормирующий множитель , знак которого противоположен знаку свободного коэффициента.

Обозначим d – расстояние от точки М¢ (х¢, у¢) до данной прямой. Используя нормирующий множитель, можно получить формулу для нахождения расстояния от точки М¢ (х¢, у¢) до прямой, заданной общим уравнением:

(3.10)

5. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Нахождение угла между прямыми

Пусть две прямые заданы общими уравнениями: и .

Условие параллельности этих прямых эквивалентно условию коллинеарности (2.8) векторов нормалей к этим прямым и , т.е.

(3.11)

Условие перпендикулярности этих прямых эквивалентно равенству нулю скалярного произведения (2.11) векторов нормалей и , т.е. или

(3.12)

Угол между прямыми равен углу между нормалями к этим прямым, который определяется по формуле

(3.13)

Абсолютно аналогично обстоит дело, если прямые заданы каноническими уравнениями: .

Условие параллельности, перпендикулярности, а также угол между прямыми можно определить, используя направляющие векторы прямых и .

Условие параллельности: (3.14)

 

Условие перпендикулярности: (3.15)

 

Угол между прямыми: (3.16)

Пусть теперь прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами: .

Условие параллельности прямых: (3.17)

 

Угол между прямыми находится по формуле: (3.18)

 

Условие перпендикулярности прямых: (3.19)

Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку

М (1, –2) и составляющей угол в 45° с прямой у = 2 х + 5.

Решение. Ясно, что такую прямую можно провести двумя способами (рис. 3.4):

 

Рис. 3.4

 

Воспользуемся формулой (3.18), причем имеем tga = 1, . Тогда . Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:

или .

Решая эти уравнения, получаем два разных значения углового коэффициента искомой прямой: или .

Воспользуемся теперь уравнением (3.8) прямой с угловым коэффициентом и проходящей через заданную точку. Получим два варианта искомой прямой:

или .

Окончательно получаем или .

 

Виды уравнений плоскости

 

Определение 3.2. Уравнение вида Ах + Ву + Сz + D = 0, где А, В, C и D – некоторые числа, называется уравнением первой степени.

Теорема 3.1. В декартовой системе координат любое уравнение первой степени определяет некоторую плоскость и, наоборот, любая плоскость в декартовой системе координат определяется уравнением первой степени.

Рассмотрим различные виды уравнений плоскости.

Общее уравнение плоскости.

Уравнение вида

Ах + Ву + Сz + D = 0 (3.20)

называется общим уравнением плоскости.

Геометрический смысл коэффициентов А, В и С в уравнении (3.20): они являются координатами вектора нормали n к этой плоскости, т.е. вектора, перпендикулярного данной плоскости.