Числовые последовательности и ряды

Тема 2.

Лекция 6

Числовые последовательности и ряды

§ 2.1 Сходящиеся числовые последовательности

Определение 1.

Функция определяющаяся на множестве N и принимающая значения из некоторого множества X, x?R называется числовой последовательностью

Пример 1.

1)

2)

3)

Определение 2.

Числовая последовательность называется сходящейся, если существует такое число Х0, что для любого положительного Е сколь угодно малого, найдется номер члена числовой последовательности, такой, что для всех членов >N будет выполняться неравенство:

- предел числовой последовательности

Если последовательность не сходится ни к какому числу называется расходящаяся

Геометрическая интерпретация

Возьмем Х0 на числовой прямой. Зададим Е и построим Е-окрестность. Из определения следует, что по заданному Е найдется такой N, начиная с которого все члены последовательности будут расположены в этой Е- окрестности. А члены Х1, Х2, ХN – будут лежать за пределами окрестности

Построим отрицание существования предела, то есть

Правило построения отрицания логического выражения:

Замена и знак неравенства меняется на противоположный

Пример2.

зададим произвольное , найдем N, чтобы выполнилось неравенство

В качестве Эта функция целая часть числа

Эта функция представляет целую часть, х есть наиболее целое число, удовлетворяющее неравенство

Пример 3.

покажем, что последовательность не имеет предела (расходится)

От противного, пусть предел существует

Зададим

Тогда, если n- четное, то

если n- нечетное

нет такого , которое удовлетворяет этим неравенствам одновременно. Это противоречие. Значит, предел этой последовательности не существует, значит, она расходится

Пример 4.

Все четные члены стремятся к 0 слева, а стремятся к +

В любой окрестности точки содержится внутри и за пределами бесконечное число членов числовой последовательности

 

Теорема 1. (единственность предела)

Если предел последовательности существует, то он единственный

Доказательство:

От противного, предположим, последовательность ,тогда по определению будет

Возьмем

будут выполняться оба неравенства одновременно, тогда

- противоречие, двух пределов не может быть

Определение 3.

Числовая последовательность называется ограниченной, если существует

В противном случае, последовательность называется неограниченной.

Теорема 2.

Всякая сходящаяся последовательность ограничена

Доказательство:

Пусть - последовательность сходится и - её редел. Возьмем произвольное тогда по определению

Обозначим через

Тогда очевидно

Это означает, что последовательность ограничена

Обратное утверждение неверно

она ограничена

- последовательность ограничена, но она сходится

Пример 5. *

исследовать сходимость последовательности в зависимости от параметра q

А)

Зададим

По определению для найдем N из неравенства

В этом случае сходится

Б)

q=-1 ⇾ Расходится пр. 1

q = 1

В)

Могут принимать любые большие значения, следовательно, последовательность неограниченна и она расходится

Определение 4

Последовательность Хn – называется неубывающей (невозрастающей) если

Называются монотонными

Определение 5

Последовательность Хn – называется возрастающей (убывающей) если выполняются условия

называются строго монотонными

Теорема 3.

Всякая монотонная ограниченная последовательность сходится

Доказательство

Пусть Хn – не убывает, по условию Хn – ограничено, то есть её множество значений Х ограничено

Тогда существует точная верхняя грань множества Х

П усть тогда по определению

1)

В силу монотонности это неравенство

Добавим в некоторое + и только усилим неравенство

Это будет означать, что последовательность сходится

Лекция 7

§ 2.2 Свойства сходящихся последовательностей

Пусть Хn, Уn – числовые последовательности

Определение 6.

Суммой, разностью произведения и частных двух последовательностей Хn, Уn называется:

Х

Теорема 4.

Пусть последовательности – сходятся, причём

Тогда сходится и последовательность

Причем справедливы формулы

а)

б)

в)

г)

Доказательство:

а) покажем, что последовательность имеет предел

произвольное число

так как предел существует

б) так как пределы - существуют, это означает, что

По следовательность имеет предел и выполняется равенство Б). Точно так же и для разности

в)

по условию последовательности – сходятся, а значит ограничены

увеличивая М можно записать неравенство

тогда

Это значит, что

г) доказать сведя к произведению

Теорема 5.

Пусть задано три последовательности

а) если и последовательность – сходятся, соответственно к , то для предела

или

б) если и последовательности - сходятся к одному и тому же пределу, то

Доказательство:

а) Пусть и докажем

от противного

Пусть тогда по определению для

Это значит , что противоречит условию

б) Пусть с тремится к а,

будет выполняться

Из условия б) следует

Это означает, что последовательность стремится к а

Пример 1.

Покажем, что

Возьмем номер N такой, что тогда

По теореме б)

Пример 2.

Биномиальные коэффициенты

Ограничены первыми двумя слагаемыми, тогда, отсюда

При

Следовательно предел , тогда если p = 1 то равенство очевидно, а при p надо перейти к обратным числам

Лекция 8

Определение 7.

Последовательность – называется бесконечно малой, если её предел равен нулю

– бесконечно малая

Если то последовательность бесконечно малая и наоборот, если где то

Теорема 6.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую, есть бесконечно малая последовательность

Доказательство:

Пусть - бесконечно малая, - ограниченная, доказать - бесконечно малая

Так как - ограниченная

А так как - бесконечно малая

Тогда

это означает, что и последовательность бесконечно малая

Определение 8.

Последовательность Хn – называется бесконечно большой, если

Если то

Теорема 7.

А) если предел то последовательность бесконечно малая

Б) если последовательность - бесконечно малая, то последовательность бесконечно большая (

Доказательство:

А) Пусть

Следовательно последовательность - бесконечно малая

 

§ 2.3 Теорема Больцано-Венерштрасса. Фундаментальные последовательности

Определение 9.

Пусть Хn – числовая последовательность и … возрастающая последовательность натуральных чисел

Последовательность называется подпоследовательностью последовательности Хn

Если подпоследовательности Хkn сходятся, то её предел называется частичным пределом последовательности Хn

{ Хn }={1,⅟2, 2, ⅓, 3,⅟4, 4, ⅕ … n, ⅟n+1 …}

не является на бесконечно малой ни бесконечно большой, она не ограничена, однако у неё есть частичный предел

{ Х2n }={⅟2, ⅓, ⅟4 …}

Кn=n+1 эта последовательность сходится и число 0 является её пределом

Теорема 8.

Если последовательность Хn – сходится, то любая её подпоследовательность Хkn тоже сходится и имеет тот же предел

Доказательство.

Пусть Хn→ Х0

Тогда

Это значит подпоследовательность

Теорема доказана.

 

Доказательство.

По условию последовательность an – не убывает, bn – не возрастает, более того обе последовательности an,, bn – ограничены, в силу того a1 an ограничены числами a1 и

Тогда существует предел этих последовательностей

(по теореме Дедекинда)

Но по условию теоремы

Таким образом, точки принадлежат всем отрезкам одновременно, в частности они могут и совпадать

 

Теорема 10. (Больцано-Вейерштрасса)

Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся последовательность

Доказательство:

Пусть – ограничена

Обозначим отрезок

Разделим этот отрезок пополам и возьмем ту часть, которая содержит много членов последовательности

Обозначим разделим этот отрезок пополам, и обозначим и так до

Тогда получим последовательность вложенных отрезков, длина которых равна:

Тогда в силу предыдущей теоремы существует точка Принадлежащая всем отрезкам одновременно

Построим последовательность сходящуюся в С, в качестве возьмем любой член последовательности в качестве возьмем , в качестве возьмем любой член последовательности

Таким образом, получили подпоследовательность, которая удовлетворяет неравенству

Покажем, что Действительно, что будет выполняться условие

По теореме сравнения середина тоже стремится к О

 

последовательность расходится, не имеет предела, но ограничена и в силу теоремы можно выделить сходящуюся подпоследовательность

ограниченная последовательность

можно выделить сходящуюся подпоследовательность

Обозначим через Х множество частичных пределов X

Очевидно, что так как все частичные пределы

Так как множество ограничено, то существует точная нижняя и верхняя грани

а это множества частичных пределов

 

Теорема 12.

Если последовательность Хn – фундаментальная, то она ограничена

Доказательство:

Зададим выполнится (1)

Пусть

Все члены у которого

Обозначим через

Это означает, что последовательность ограничена

 

Теорема 13. Критерий Каши

1. Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной

Доказательство:

Пусть последовательность Хn – сходится и её предел

Докажем, что она фундаментальная, то есть выполняется (1), по определению сходящейся последовательности

тогда

значит выполняется (1) и последовательность будет фундаментальной

Достаточность

Пусть последовательность фундаментальная, докажем, что она сходится

По теореме 12, Хn – ограничена, следовательно из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность , докажем, что Хn (сходится)

Зададим произвольное

Так как , получим

По следовательность , следовательно

(*)

Чтобы выполнялось 2 неравенства одновременно, обозначим

Последовательность сходится

 

§ 2.4 Числовые ряды

Пусть { Хn }={ Х1,Х2,Х3 … Хn…}

Определение 12.

Выражение вида (формально составленной суммы)

Х1+Х2+Х3+ … +Хn+…= (2)

Называется числовым рядом

Sn= Х1+Х2+Х3+ … +Хn= - частичная сумма ряда

S1= Х1

S2= Х1+Х

S3= Х1+Х2+Х3

……..

Частичные суммы сами по себе образуют числовую последовательность, которая называется последовательностью частичных сумм

Определение 13.

Числовой ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм

- сумма ряда

Предел последовательности частичных сумм называется сумма ряда, записывают

Если последовательность расходится, то её предел не существует, то говорят, что и ряд расходится

Таким образом можно записать

– числовой ряд, который называется остатком исходного числового ряда

Если ряд сходится

Замечание.

По определению сходимость ряда (2) равносильна последовательности частичных сумм и наоборот

Пусть - некоторая числовая последовательность и составим ряд

Для которого частичной суммой будут члены числовой последовательности и сходимость этой числовой последовательности равна сходимости числового ряда

Пример 9

А) исследовать сходимость

не существует, этот ряд расходится

Определение 14.

Суммы, разности и произведением двух рядов и произведение ряда на число, называются следующие ряды

Теорема 14.

Если ряды и сходятся, то сходятся их сумма, разность и произведение на число

Доказательство:

Обозначим частичные суммы

И рассмотрим ряд

Аналогично теорема доказывается для разности и произведения

Замечание.

Отбрасывание или добавление конечного числа слагаемых членов ряда не влияет на характер сходимости или расходимости, так как при этом изменится на конечное число частичной суммы. При этом изменится только частичная сумма

 

Теорема 15. Критерии Каши

Для того, чтобы числовой ряд (2) Х1+Х2+Х3+ … +Хn+…= сходился, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

- ясно, что последовательность неравенства равносильно

Доказательство:

По определению сходимости ряда равносильно сходится последовательность , а сходящаяся последовательность равносильна фундаментальной последовательности

Значит, выполняется (3) и наоборот, если выполняется (3), то последовательность частичных сумм сходится

 

Достаточность.

Пусть последовательность частичных сумм ограничена сверху, следовательно, она ограничена снизу (например, 0)

Последовательности частичных сумм неубывающие, то есть монотонные

Следовательно, всякая ограниченно монотонная последовательность сходится.

Последовательность - сходится, значит сходится ряд

Пример.

Обобщенно-гармонический ряд (Дирихле)

Исследовать на сходимость в зависимости от параметра

1) - частичные суммы не ограничены, ряд расходится

2) - применим теорему 17(признак разреженности)

Рассмотрим ряд

Вывод: обобщенно – гармонический ряд сходится при , расходится при

 

Пример.

1)

Ряд сходится, тогда в силу признака сравнения сходится и тот ряд

2) необходимый признак выполняется

Обобщенно – гармонический ряд расходится, значит исходный ряд расходится

Пример

проверим необходимый признак

Проверим достаточный признак, воспользуемся признаком сравнения в предельной форме и сравним этот ряд с обобщенно – гармоническим рядом

При га рмонический ряд сходится, значит и наш тоже сходится

Пример

по теореме ряд расходится

Теорема 21. (признак Коши)

Если существует конечный предел

То знакоположительный ряд сходится при , расходится при

Доказательство:

А) пусть , тогда

Из определения предела следует, что начиная с некоторого N:

не превосходит члены

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сходится

Тогда по признаку сравнения сходится , тогда сходится , он отличается на такое число , следовательно, при ряд сходится

2) пусть

Это означает, начиная с некоторого n, , не выполняется необходимый признак сходимости, следовательно ряд расходится

Замечание.

Признак Даламбера и признак Коши не дают ответа, в случае когда , в этом случае применяют другие признаки

 

Пример. Исследовать сходимость

применим признак Коши

следовательно ряд сходится

Определение числа e

1) рассмотрим ряд

Покажем, что он сходится

этот ряд как геометрическая прогрессия сходится, q=

По признаку сравнения – сходится и его сумму обозначим

Оценим величину

Рассмотрим разность

Погрешность от замены суммы частичной суммой не превосходит

1 Вычислить число , то есть проссумировать ряд с точностью до

N=3

n=4

n=5

n=6

n=7

n=8

чтобы вычесть с точностью до надо взять 8 слагаемых

2. Покажем, что

(формула Бинома-Ньютона)

Мы получили, что

сходится и он равен , тогда

последовательность - возрастает и ограничена сверху, а следовательно она сходится. Найдем её

Ясно, что при

То по теореме сравнения предел тоже будет равен е

Знакопеременные ряды

Определение 16.

Ряд - называется знакопеременным, если его члены могут иметь как положительные, так и отрицательные знаки

Например,

Пример.

Определение 17.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из абсолютных величин

Из теоремы ясно, что если ряд абсолютно сходится, то он и просто сходится

 

Определение 18.