Геометрическая интерпретация

Возьмем Х0 на числовой прямой. Зададим Е и построим Е-окрестность. Из определения следует, что по заданному Е найдется такой N, начиная с которого все члены последовательности будут расположены в этой Е- окрестности. А члены Х1, Х2, ХN – будут лежать за пределами окрестности

Построим отрицание существования предела, то есть

Правило построения отрицания логического выражения:

Замена и знак неравенства меняется на противоположный

Пример2.

зададим произвольное , найдем N, чтобы выполнилось неравенство

В качестве Эта функция целая часть числа

Эта функция представляет целую часть, х есть наиболее целое число, удовлетворяющее неравенство

Пример 3.

покажем, что последовательность не имеет предела (расходится)

От противного, пусть предел существует

Зададим

Тогда, если n- четное, то

если n- нечетное

нет такого , которое удовлетворяет этим неравенствам одновременно. Это противоречие. Значит, предел этой последовательности не существует, значит, она расходится

Пример 4.

Все четные члены стремятся к 0 слева, а стремятся к +

В любой окрестности точки содержится внутри и за пределами бесконечное число членов числовой последовательности

 

Теорема 1. (единственность предела)

Если предел последовательности существует, то он единственный

Доказательство:

От противного, предположим, последовательность ,тогда по определению будет

Возьмем

будут выполняться оба неравенства одновременно, тогда

- противоречие, двух пределов не может быть

Определение 3.

Числовая последовательность называется ограниченной, если существует

В противном случае, последовательность называется неограниченной.

Теорема 2.

Всякая сходящаяся последовательность ограничена

Доказательство:

Пусть - последовательность сходится и - её редел. Возьмем произвольное тогда по определению

Обозначим через

Тогда очевидно

Это означает, что последовательность ограничена

Обратное утверждение неверно

она ограничена

- последовательность ограничена, но она сходится

Пример 5. *

исследовать сходимость последовательности в зависимости от параметра q

А)

Зададим

По определению для найдем N из неравенства

В этом случае сходится

Б)

q=-1 ⇾ Расходится пр. 1

q = 1

В)

Могут принимать любые большие значения, следовательно, последовательность неограниченна и она расходится

Определение 4

Последовательность Хn – называется неубывающей (невозрастающей) если

Называются монотонными

Определение 5

Последовательность Хn – называется возрастающей (убывающей) если выполняются условия

называются строго монотонными

Теорема 3.

Всякая монотонная ограниченная последовательность сходится

Доказательство

Пусть Хn – не убывает, по условию Хn – ограничено, то есть её множество значений Х ограничено

Тогда существует точная верхняя грань множества Х

П усть тогда по определению

1)

В силу монотонности это неравенство

Добавим в некоторое + и только усилим неравенство

Это будет означать, что последовательность сходится

Лекция 7

§ 2.2 Свойства сходящихся последовательностей

Пусть Хn, Уn – числовые последовательности

Определение 6.

Суммой, разностью произведения и частных двух последовательностей Хn, Уn называется:

Х

Теорема 4.

Пусть последовательности – сходятся, причём

Тогда сходится и последовательность

Причем справедливы формулы

а)

б)

в)

г)

Доказательство:

а) покажем, что последовательность имеет предел

произвольное число

так как предел существует

б) так как пределы - существуют, это означает, что

По следовательность имеет предел и выполняется равенство Б). Точно так же и для разности

в)

по условию последовательности – сходятся, а значит ограничены

увеличивая М можно записать неравенство

тогда

Это значит, что

г) доказать сведя к произведению

Теорема 5.

Пусть задано три последовательности

а) если и последовательность – сходятся, соответственно к , то для предела

или

б) если и последовательности - сходятся к одному и тому же пределу, то

Доказательство:

а) Пусть и докажем

от противного

Пусть тогда по определению для

Это значит , что противоречит условию

б) Пусть с тремится к а,

будет выполняться

Из условия б) следует

Это означает, что последовательность стремится к а

Пример 1.

Покажем, что

Возьмем номер N такой, что тогда

По теореме б)

Пример 2.

Биномиальные коэффициенты

Ограничены первыми двумя слагаемыми, тогда, отсюда

При

Следовательно предел , тогда если p = 1 то равенство очевидно, а при p надо перейти к обратным числам

Лекция 8

Определение 7.

Последовательность – называется бесконечно малой, если её предел равен нулю

– бесконечно малая

Если то последовательность бесконечно малая и наоборот, если где то

Теорема 6.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую, есть бесконечно малая последовательность

Доказательство:

Пусть - бесконечно малая, - ограниченная, доказать - бесконечно малая

Так как - ограниченная

А так как - бесконечно малая

Тогда

это означает, что и последовательность бесконечно малая

Определение 8.

Последовательность Хn – называется бесконечно большой, если

Если то

Теорема 7.

А) если предел то последовательность бесконечно малая

Б) если последовательность - бесконечно малая, то последовательность бесконечно большая (

Доказательство:

А) Пусть

Следовательно последовательность - бесконечно малая

 

§ 2.3 Теорема Больцано-Венерштрасса. Фундаментальные последовательности

Определение 9.

Пусть Хn – числовая последовательность и … возрастающая последовательность натуральных чисел

Последовательность называется подпоследовательностью последовательности Хn

Если подпоследовательности Хkn сходятся, то её предел называется частичным пределом последовательности Хn

{ Хn }={1,⅟2, 2, ⅓, 3,⅟4, 4, ⅕ … n, ⅟n+1 …}

не является на бесконечно малой ни бесконечно большой, она не ограничена, однако у неё есть частичный предел

{ Х2n }={⅟2, ⅓, ⅟4 …}

Кn=n+1 эта последовательность сходится и число 0 является её пределом

Теорема 8.

Если последовательность Хn – сходится, то любая её подпоследовательность Хkn тоже сходится и имеет тот же предел

Доказательство.

Пусть Хn→ Х0

Тогда

Это значит подпоследовательность

Теорема доказана.