Теорема 20 (признак Даламбер)

Если существует предел то знакоположительный ряд сходится при , расходится при

Доказательство:

А) пусть , тогда

Рассмотрим (p,q) с центром в точке ,тогда по определению начиная с некоторого n предел существует, так как все члены последовательности - лежат в интервале (p,q)

можно записать

- сходится как геометрическая прогрессия при

Тогда сходится , следовательно, сходится , так как он получается из предыдущего добавлением конечного числа слагаемых

2) пусть , тогда начиная с некоторого N будет выполняться

Значит члены ряда не убывают, следовательно ряд расходится

Признак Даламбер удобно применять, когда общий ряд содержит , а когда обобщенный член содержит степенные и рациональные, удобно применять признаки сравнения

Пример

по теореме ряд расходится

Теорема 21. (признак Коши)

Если существует конечный предел

То знакоположительный ряд сходится при , расходится при

Доказательство:

А) пусть , тогда

Из определения предела следует, что начиная с некоторого N:

не превосходит члены

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сходится

Тогда по признаку сравнения сходится , тогда сходится , он отличается на такое число , следовательно, при ряд сходится

2) пусть

Это означает, начиная с некоторого n, , не выполняется необходимый признак сходимости, следовательно ряд расходится

Замечание.

Признак Даламбера и признак Коши не дают ответа, в случае когда , в этом случае применяют другие признаки

 

Пример. Исследовать сходимость

применим признак Коши

следовательно ряд сходится

Определение числа e

1) рассмотрим ряд

Покажем, что он сходится

этот ряд как геометрическая прогрессия сходится, q=

По признаку сравнения – сходится и его сумму обозначим

Оценим величину

Оценим погрешность, в которой частичная сумма

Рассмотрим разность

Погрешность от замены суммы частичной суммой не превосходит

1 Вычислить число , то есть проссумировать ряд с точностью до

N=3

n=4

n=5

n=6

n=7

n=8

чтобы вычесть с точностью до надо взять 8 слагаемых

2. Покажем, что

(формула Бинома-Ньютона)

Мы получили, что

сходится и он равен , тогда

последовательность - возрастает и ограничена сверху, а следовательно она сходится. Найдем её

Ясно, что при

То по теореме сравнения предел тоже будет равен е

Знакопеременные ряды

Определение 16.

Ряд - называется знакопеременным, если его члены могут иметь как положительные, так и отрицательные знаки

Например,

Теорема 22. (достаточный признак сходимости)

Если сходится ряд с членами из модулей то и сходится

Доказательство:

Проверим Критерий Коши для исходного ряда

Следовательно, выполняется критерий Коши и исходный ряд тоже сходится

Пример.

Проверим критерий Коши, рассмотрим ряд

- а этот ряд сходится как обобщенно – гармонический, с показателем

Следовательно сходится исходный ряд

Определение 17.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из абсолютных величин

Из теоремы ясно, что если ряд абсолютно сходится, то он и просто сходится

 

Определение 18.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд из абсолютных величин его сходится

Например, – сходится абсолютно, так как

Среди всех знакопеременных рядов особое значение имеют знакочередующиеся ряды

Теорема 23. (признак Лейбница)

Пусть член знакочередующегося ряда монотонно убывает

Тогда знакочередующийся ряд сходится

Доказательство:

Обозначим через - последовательность частичных сумм и рассмотрим 2 подпоследовательности: четных и нечетных частичных сумм и m=1,2,3…

Последовательность не убывает, так как

А последовательность - не возрастает, так как

Эти последовательности монотонные, последовательность ограничена сверху

Четные, нечетные частичные суммы имеют один предел, следовательно

следовательно, ряд сходится

Следствие.

Абсолютная погрешность при замене суммы знакочередующегося ряда частичной суммой не превосходит первого отброшенного члена

Доказательство:

Так как нечетная сумма не возрастает и стремится к S, а - не убывает и тоже стремится к S

отсюда

С ледствие очень важное и играет большую роль при приближенных вычислениях с помощью рядов

Пример.

Надо взять столько членов, чтобы 1-й отброшенный член не превосходил

 

Вернемся к произвольным знакопеременным рядам