Условная вер.. Теорема умножения вер..

Соб. А называется независимым от события В, если Р(А) не зависит от того, произошло соб. В или нет. Соб. А называется зависимым от соб. В, если Р(А) меняется в зависимости от того, произошло соб. В или нет. Опр.: Вер. соб. А, вычисленная при условии, что имело место другое соб. В, называется условной вер.ю (у.в.) события и обозначается P_В(A) или P(A\B). Условие независимости соб. А от соб. В можно записать в виде P_В(A)=P(A). Условие зависимости соб.: P_B(A)≠P(A). Теорема: Вер. произведения 2-ух событий равна произведению вер. одного из них на у.в. другого, вычисленную при условии, что 1-ая имела место, т.е. P(AB)=P(A) * P_A(B). Док-во: Пусть возможные исходы опыта сводятся к n случаям. Предположим, что соб. А благоприятствует m случаев, а соб. В – k случаев. Т.к. мы не предполагали соб. А и В несовместными, то существуют случаи благоприяттвующие и соб. А, и соб. В одновременно. Пусть число таких случаев l(эль), тогда вер. соб. АВ будет равна l/n, а P(A)=m/n. Вычислим у.в. соб. В в предположении, что соб. А имело место. Если известно, что соб. А произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m случаев, кот. благоприятствовали соб. А, а из них только l случаев благоприятствуют соб. В, поэтому P_A(B)= l/m. Подставляя в выражения вер. соб. АВ, вер. событ. А и у.в. соб. В, получаем тождество.

Замечание: При применении теоремы безразлично, какое из соб. А и В считать 1-ым, а какое 2-ым, т.е. P(AB)= P(A)* P_A(B)= P(B) * P_B(A)

 

 

Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.

Опр: 2 события назыв. независимыми, если появление любого из них не изменит вер. появления другого, т.е. P(A)=P_B(A) или P(B)=P_A(B). Теорема: Вер. совместного появления 2-ух независимых событий равна произведению их вер-тей, т.е. P(AB)= P(A)*P(B). Док-во: Т.к. соб. А и В независимы, то должно выполняться равенство P(B)=P_A(B). Тогда по теореме умножения вер-тей P(AB)=P(A)*P_A(B)= P(A)*P(B). Следствие: Если соб. А и В независимы, то независимы и соб. А и . Следствие 2: Если 2 события независимы, то независимы и противоположные им события. Теорема: Вер. совместного наступления конечного числа соб. равна произведению вер. одного из них на условные вероятности (у.в.) всех остальных. Причем у.в. каждого последующего соб. вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили, т.е. P(A₁*A₂*…A_n)=P(A₁)*P_A1(A₂) * , где - у.в. соб. А_n, вычисленная в предположении, что соб. А₁, А₂… А_n-1 произошли. Опр.: Соб. называются независимыми в совокупности, если наряду с их попарной независимостью независимо любое из них и произведение любого числа из остальных. В противном случае события назыв. зависимыми. Теорема: Вер. совместного появления нескольких соб. независимых в совокупности равна произвед. вер-тей этих соб., т.е. P(A₁*A₂*…A_n)=P(A₁) *P(A₂) *…*P(A_n).

 

Вер. появления хотя бы одного события

Пусть в рез-те испытания могут появиться n событий, независимых в сов-сти, либо некоторые из них. Причем вер-ти появления каждого из соб. известны. Как найти вер. того, что наступит хотя бы одно из них? Теорема: Вер. появления хотя бы одного из событий А₁, А₂…А_n, независимых в сов-сти равна разности между 1 и произведением вер-тей противоположных соб. , т.е. P(A₁+A₂+…+A_n)=1— P() . Док-во: Соб. (ни одно соб. не произошло) и соб. A₁+A₂+…+A_n противоположны, значит P(A₁+A₂+…+A_n)+P()=1. Отсюда P(A₁+A₂+…+A_n)=1- P()=1- P() (последнее действие - по теореме умножения вер-тей). Частный случай: Если событ. А₁, А₂…А_n имеют одинаковую вер. p, то вер.. появления хотя бы 1 из этих соб. вычисляется по формуле 1- qⁿ, где q=1-p.

Формула полной вероятности

Пусть требуется определить вер. некоторого соб. А, которое может произойти вместе с одним из соб. H₁,H₂,…,H_n, образующих полную группу несовместных соб. Соб. H₁,H₂,…,H_n будем называть гипотезами. Докажем, что в этом случае P(A) вычисляется как P(A) = + +…+ = . Т.е. P(A) вычисляется как сумма произведений вер-ти каждой гипотезы на соотв. условную вер. соб. А. Док-во: Т.к. гипотезы H₁,H₂,…,H_n образуют полную группу, то соб. А может появиться в комбинации с какой-л. из этих гипотез, т.е. A=H₁A+H₂A+…+H_nA. Т.к. гипотезы H₁,H₂,…,H_n несовместны, то и комбинации H₁A,H₂A,…,H_nA несовместны. Применяя теорему сложения, получаем P(A)= P(H₁A)+P(H₂A)+…+P(H_nA). Применяя к событию H_iA теорему умножения вер-тей, получаем P(A)= + +…+ .

 

Формула Байеса

Следствием теоремы умножения и формулы полной вер. явл. теорема гипотез или формула Байеса. Поставим след. задачу: имеется полная группа несовместных гипотез H₁,H₂,…,H_n. Вер-ти этих гипотез до опыта известны и равны P(H₁), P(H₂),…, P(H_n). Произведен опыт, в рез-те кот. появилось некоторое соб. А. Как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события? Т.е. нужно найти усл. вер. P_A(H_i) для каждой гипотезы. Из теоремы умножения вер.: P(AH_i)=P(A)* P_A(H_i)=P(H_i)* , ; P_A(H_i)= , . Выражая P(A) с пом. формулы полной в-сти, получаем P_A(H_i)= , . Данная формула – формула Байеса или теоремой гипотез.