Мат. ожидание дсв и нсв. Св-ва мат. ожидания.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Мат. ожидание дсв и нсв. Св-ва мат. ожидания.



Мат. ожидание. Возм. знач. СВ могут быть сосредоточены вокруг некот. центра. Этот центр является некотор. ср. значением, вокруг кот. группируются ост. знач. СВ. Для хар-ки такой особенности распр. СВ служит мат. ожидание, кот. иногда называют центром распр. или ср. знач. СВ. Пусть имеется ДСВ Х, заданная след. рядом распр.:

Х x1 x2 x3 xn
Р p1 p2 p3 pn

Опр.: Мат. ожиданием (м.о.) M(X) ДСВ X назыв. сумма произведений всех возм. знач. СВ на соотв. вер. появления этих знач., т.е. M(X)= -форм. (1). Если ДСВ принимает бесконечное счетное мн-во знач., то ее м.о. выражается формулой M(X)= . Причем м.о. в этом случае сущ-ет, если ряд в правой части рав-ва сходится абсолютно. Опр.: м.о. НСВ Х, возм. знач. кот. принадлежат отрезку [a,b] назыв. вел-на равная M(X)= , где f(x) – ф-ция плотности распр. НСВ Х. Если возм. знач. непрерывн. СВ Х принадлежат всей оси ОХ, то M(X)= . Здесь предполагается, что несобств. интеграл сходится абсолютно, т.е. существует. Осн. св-ва м.о.: Опр.: 2 СВ назыв. независимыми, если закон распр. вер. одной из них не зависит от того, какие возм. знач. приняла др. вел-на. В противном случае СВ называют зависимыми. Опр.: Неск-ко СВ назыв. взаимно независим., если закон распр. любой из них не зависит от того, какие знач. приняли какие-л. другие из оставшихся вел-н. 1) м.о. постоянной вел-ны равно самой постоянной, т.е. M(C)=C. Док-во: Пост. C можно рассматривать как м.о ДСВ, кот. принимает знач. C с вер.ю =1. Тогда по формуле (1): M(C) =C p=C 1=C; 2) Пост. множитель можно выносить за знак м.о., т.е. M(kX)=kM(X). Док-во: Возм. знач., кот. принимает СВ kX – это kx1, kx2,…,kxn. Им соответствуют вер. p1, p2,…,pn. Тогда M(kX)= = = kM(X); 3) м.о. алг. суммы 2-ух СВ X и Y равно алг. сумме их м.о., т.е. M(X Y)=M(X) M(Y). Док-во: Пусть X и Y – ДСВ, имеющие след. ряды распр.:

Х x1 x2 x3 xn
Р p1 p2 p3 pn

(То же самое для Y, только вместо p – q и в конце ym и qm). Пусть X и Y – независимые СВ. Найдем вер. появления знач. , соотв. значению СВ . Для появл. указ. знач. необходимо, чтобы с вер. pi появилось значение xi СВ Х, а с вер. qj - значение СВ Y yj. Значит вер. появл. знач. = pi qj. Ряд распр. ДСВ будет иметь вид:

Х+-y1Y x1+-y1 x2+-y2 xi+-yj xn+-ym
Р p1 q1 p2 q2 pi qj pn qm

Тогда M(X Y)= = = = M(X) M(Y); 4) м.о. произведения 2-ух независим. СВ X и Y равно произведению их м.о., т.е. M(XY)=M(X) M(Y). Док-во: Пусть ДСВ X и Y заданы рядами распр., приведенными при док-ве св-ва 3. Ряд распр. СВ XY для независим. СВ имеет вид: (такой же как и предыдущий, только x1 y1 и т.д.). Тогда м.о. M(XY)= = = M(X) M(Y). Замечание: Св-ва, доказанные для ДСВ справедливы и для НСВ; 5) м.о. отклонения СВ от ее м.о. равно 0, т.е. M(X – M(X))=0. Док-во: Используя св-ва 3 и 1 и учитывая, что м.о. – вел-на постоянная, получаем, что M(X – M(X))= M(X) – M(M(X)) = M(X) – M(X) =0. Замечание: Разность X – M(X) показывает, насколько знач. СВ отклонилось от м.о. Эту вел-ну назыв. отклонением СВ Х от ее м.о.

 

26. Дисперсия дсв и нсв. Св-ва дисперсии.

Дисперсией (Д) D(X) СВ называют м.о. квадрата ее отклонения от м.о., т.е. D(X)=M(X-M(X))2. Выбор Д, определяемой по предыд. формуле в кач-ве хар-ки рассеивания знач. СВ оправдывается тем, что Д обладает св-вом минимальности. Это означает, что Д равна (под min подписать с). Если X – это ДСВ, то D(X)= . Если X – это НСВ, приним. знач. отрезка [a,b], то D(X)= f(x)dx, где f(x) – ф-ция плотности распр. НСВ X. D(X) имеет размерность квадрата СВ, что не всегда удобно, поэтому в кач-ве пок-ля рассеивания используют также вел-ну . Ее называют средним квадратич. отклонением. Основн. св-ва Д: 1) Д алг. суммы 2-ух независим. СВ X и Y равна сумме Д этих величин, т.е. D(X Y)=D(X)+D(Y). Док-во: D(X Y)= M[(X Y) – M(X Y)]2 = M((X Y) – (M(X) M(Y)))2 = M((X – M(X) (Y – M(Y)))2 = M[(X – M(X))2 2(X – M(X))(Y – M(Y)) + (Y – M(Y))]2 = M(X – M(X))2 2M(X – M(X))M(Y – M(Y)) + M(Y – M(Y))2 = D(X) + 0 + D(Y) = D(X)+D(Y); 2) Д пост. вел-ны равна 0, т.е. D(C)=0. Док-во: Т.к. M(C)=C, то D(C)= M(C – M(C))2 = M(C – C)2 = M(0) = 0; 3) Пост. множитель С можно выносить за знак Д, возводя его в

квадрат, т.е. D(CX)= C2D(X). Док-во: D(C)= M(CX – M(CX))2 = M(CX – CM(X))2 = M(C(X – M(X))2) = M(C2(X – M(X))2) = M(C2)M(X – M(X))2 = C2D(X); 4) Д СВ Х равна разности между м.о. квадрата СВ и квадратом ее м.о., т.е. D(X) = M(X2) – (M(X))2. Док-во: По опр. Д D(X) = M(X – M(X))2 = M(X2 – 2X M(X) + (M(X))2) = M(X2) – M(2X M(X)) + M(M(X))2 = M(X2) – 2M(X) M(X) + (M(X))2 = M(X2) – (M(X))2. Замечание: При решении практич. задач для вычисления удобнее использовать формулу св-ва (4). Для ДСВ эта формула будет иметь вид: D(X) = - (M(X))2. Для НСВ: D(X) = - (M(X))2.

27. Мода, медиана, ассиметрия, эксцесс.

Опред Модой(Mo(X)) CB X называется ее наиболее вероятное значение, т.е. значение, для кот. вер. pi или плотность вер-ти f(x) достигает максимума. Если вер. или плотность вер-ти достигает максимума не в одной, а в нескольких точках, то распр. называется полимодальным.

Опред Медианой (Me(X)) НСВ Х называется такое ее значение, для кот. вер. того, что X< Me(X) равна вер. того, что X> Me(X) и равна ½, т.е. вер. того, что СВ Х примет значение меньше Me или больше ее одна и таже и равна ½. Геом.ески медиана – это вертик. прямая x= Me(X), проходящая через точку Me(X), кот. делит площадь фигуры кривой распр. на 2 равные части.

Коэффициент ассиметрии(А). A= , где d - среднеквадратич. отклонение, - центральный момент 3-ей степени. Если распр. симметрично относительно мат. ожидания, то А=0.

Эксцессом или коэффициентом эксцесса называют число E= -3. (Служит для характ крутости распр-я – остро или плоско вершинности) Число 3 вычитается из соотношения , т.к. для наиболее часто встречающегося нормальн. распр. вел-на =3. Кривые более островершинные, чем нормальные обладают положительн. эксцессом, а более плосковершинные – отрицат. эксцессом.

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-09-05; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.237.16.210 (0.013 с.)