Понятие закона больших чисел.

Содержание закона больших чисел в широком смысле: при очень большом числе случ. явлений средний их рез-т практически перестает быть случ. и может быть предсказан с большой степенью опр-сти. В узком смысле слова под законом больших чисел в теории вер. понимается ряд мат. теорем, в каждой из к-рых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних хар-к большого числа опытов к некот. опр. постоянным. Простейшей из этих теорем является т. Бернулли. Она утверждает, что при большом числе опытов частота соб. приближается (точнее – сходится по вер.) к вер. этого соб. Другие, более общие формулировки, устанавливабт факт и условия сходимости по вероятности тех или иных СВ к постоянным, не случайным вел-нам. Закон больших чисел играет важную роль в практических применениях т.в.. Св-во случ. вел-н при опр. условиях вести себя практически как не случ. позволяет уверенно оперировать с этими вел-нами, предсказывать рез-ты массовых случ. явлений (это большое число выполняемых однородных опытов или большое число складывающихся случ. воздействий, порождающих в своей сов-сти случ. вел-ну, подчиненную вполне опр. закону) почти с полной опр-стью.

 

Неравенство Чебышева.

Нер-во Чебышева относится к группе «закона больших чисел».

Пусть имеется СВ Х с мат. ожиданием(м.о.) m_x и D_x. Нер-во Чебышева утверждает, что, каково бы ни было положительное число α, вер. того, что вел-на Х отклонится от своего м.о не меньше чем на α, ограничена сверху вел-ной D_x/ α²: P(|X - m_x |≥α)≤ D_x/ α². Док-во: Пусть вел-на Х прерывная, с рядом распр.:

Х	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

Изобразим возм. знач. вел-ны Х и ее м.о m_x в виде точек на числовой оси Ox. Зададим некоторым значением α>0 и вычислим вер. того, что вел-на Х отклонится от своего м.о не меньше, чем на α: P(|X - m_x |≥α) – формула (1). Для этого отложим от точки m_x вправо и влево по отрезку длиной α; получим отрезок АВ. Вер. (1) есть не что иное, как вер. того, что случ. точка Х попадет не внутрь отрезка АВ, а вовне его: P(|X - m_x |≥α) = P(XËAB). Для того, чтобы найти эту вер., нужно просуммировать вер. всех тех знач. Х, кот. лежат вне отрезка АВ. Запишем это следующим образом: P(|X - m_x |≥α) = - формула (2), где запись |X - m_x |≥α под знаком суммы ознаачет, что суммирование распространяется на все те знач., для которых точки Х лежат вне отрезка АВ. С другой стороны напишем выражение дисперсии вел-ны Х: D(X) = M[(X - m_x)²] = - формула (3). Т.к. все члены суммы (3) неотрицательны, она может только уменьшиться, если мы распространим ее не на все знач. Х, а только на некоторые, в частности на те, кот. лежат вне отрезка АВ: D(X) ≥ . Заменим под знаком суммы выражение |X - m_x | через α. Т.к. для всех членов суммы |X - m_x |≥α, то от такой замены сумма тоже может уменьшиться; значит, D(X) ≥ . Но согласно формуле (2) сумма, стоящая в правой части последнего рав-ва есть не что иное, как вер. попадания случайной точки вовне отрезка АВ; следовательно, D(X) ≥ α²P(|X - m_x |≥α), откуда непосредственно вытекает доказываемое нер-во. В случае, когда вел-на Х непрерывна, док-во проводится аналогичным образом с заменой вер. p элементом вер., а конечных сумм – интегралами. Действительно, P(|X - m_x |>α) = , где f(x) – плотность распр. вел-ны Х. Далее, имеем: D(X) = ≥ , где знак |X - m_x |>α под интегралом означает, что интегрирование распространяется на внешнюю часть отрезка АВ. Заменяя |X - m_x | под знаком интеграла через α, получим: D(X) ≥α²* = α²P(|X - m_x |>α), откуда и вытекает нер-во Чебышева для непрерывных величин.

 

40. Теорема Чебышева.

Эта теорема устанавливает связь между средним арифметическим наблюденных значений СВ и ее мат. ожиданием.

Теор.: При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений СВ сходится по вероятности к ее мат. ожиданию. Запишем теорему Чебышева в виде формулы. Для этого напомним смысл термина «сходится по вероятности». Говорят, что СВ Х_n сходится по вероятности к величине а, если при увеличении n вероятность того, что Х_n и а будут сколь угодно близки, неограниченно приближается к единице, а это значит, что при достаточно большом n P(|Х_n – a|<ε)>1 – δ, где ε, δ – произвольно малые положительные числа. Запишем в аналогичной форме теорему Чебышева. Она утверждает, что при увеличении n среднее арифметическое сходится по вероятности к m_x, т.е. P(| - m_x|<ε)> 1 – δ. Докажем это нер-во. Величина Y = имеет числовые хар-ки m_y = m_x; D_y = D_x/n. Применим к СВ Y нер-во Чебышева, полагая, что α = ε: P(|Y - m_y| ≥ε) ≤ D_y/ε² = D_x/n ε². Как бы мало ни было число ε, можно взять n таким большим, чтобы выполнялось нер-во D_x/n ε²<δ, где δ – сколь угодно малое число. Тогда P(| - m_x|≥ε) <δ, откуда, переходя к противоположному событию, имеем: P(| - m_x|<ε)> 1 – δ,