Начальные и центральные моменты случ. величин.

Начальным моментом к-того порядка СВ Х называется мат. ожидание(м.о.) к-той степени этой вел-ны. Начальн. момент обозначается = M(X)^k. Центральным моментом к-того порядка СВ Х назыв. м.о. к-той степени отклонения СВ Х от ее м.о., т.е. = (X – M(X))^k. Для ДСВ и НСВ формулы для вычисления моментов приведены в таблице:

Моменты	ДСВ	НСВ
Начальный		, где f(x) – ф-ция плотности распр.
Цент Ральн.

При к=1 ; при к=2 . Центр. моменты могут быть выражены через нач. моменты по формулам: ;; . м.о. или нач. момент 1-го порядка хар-ет ср. значение СВ. или дисперсия хар-ет степень рассеивания распр. СВ Х отн-но м.о. M(X). служит для хар-ки ассиметрии или скошенности распр. Он имеет размерность куба СВ. Чтобы получить безразмерную вел-ну, ее делят на , где d - среднеквадратич. отклонение. Коэфф ассиметрии служит для хар-ки крутости, т.е. островершинности или плосковершинности распр. Эти св-ва описываются с помощью эксцесса.

30. Биномиальный закон распределения.

Пусть проводится n независим. испытаний, в кажд. из которых соб. А может появиться, либо не появиться. Вер. появл. соб. А в единичном испытании постоянна и не меняется от исп. к исп.. Рассмотрим в кач-ве ДСВ Х число появлений соб. А в этих исп. Формула, позволяющая найти вер. появления m раз соб. А в n испытаниях – это форм. Бернулли. Опр.: ДСВ Х, кот. может принимать только целые неотриц. знач. с вер. P_n(m)=P(X=m)= p^mq^n-m, где p+q=1, p>0, q>0, m= называется распределенной по биномиальному закону, а p – параметром биномиальн. распр. Ряд распр. ДСВ Х распределенной по биномиальному закону можно представить в виде:

X			K	n
p

 

Ф-ция распр. в этом случае опр-ся формулой F(x)= . Найдем числовые хар-ки этого распр.. M(X) = (рав-во 1). Запишем рав-во, являющееся биномом Ньютона: (p+q)ⁿ= . Продифференцируем последнее рав-во по p: n(p+q)^n-1= . Умножим последнее рав-во на p: np(p+q)^n-1= . Сравнивая получен. рав-во с рав-вом (1), получаем, что np(p+q)^n-1 = M(X). Т.к. p+q=1, то M(X)= np. Для вычисления дисперсии ДСВ, распределенной по биномиальному закону, воспольз. формулой D(X)= M(X²) – (M(X))². Для СВ распределенной по биномиальн. закону: M(X²) = . Продифференцируем рав-во (p+q)ⁿ = дважды по p. Получим n(n–1)(p+q)^n—2= . Умножим последнее рав-во на p² и преобразуем правую часть рав-ва: n(n – 1)(p+q)^{n —2} p²= — ; n²p² – np² = M(X²) — ; n²p² – np² = M(X²) – M(X). Для ДСВ распределенной по биномиальн. закону M(X)= np, т.е. n²p² – np² = M(X²) – np; M(X²)= n²p² – np² + np; D(X)= n²p² – np² + np — n²p² = np(1 – p) = npq. Значит дисперсия ДСВ распределенной по биномиальн. закону вычисляется по формуле: D(X) = npq. .

Закон Пуассона

ДСВ Х, кот. может принимать только целые неотриц. знач. с вер. P_m = P(X=m) = , называется распределенной по закону Пуассона с пар-ом распр. λ, где λ=np. В отличие от биномиального распр. здесь СВ может принимать бесконечное мн-во знач., представляющ. собой бесконечн. посл-сть целых чисел(0, 1, 2, 3, … и т.д.). Закон Пуассона описывает число событий m, происходящих за одинаковые промежутки времени. При этом полагается, что события появляются независимо друг от друга с постоянной ср. интенсивностью, кот. хар-ся параметром λ=np. Ряд распр. закона Пуассона имеет вид:

X				M	…
p	e^—λ	λ e^—λ	(λ^2 e^—λ)/2!	(λ^m e^—λ)/m!	…

 

 

Определение закона Пуассона корректно, т.к. выполнена. Действительно функцию e^x можно разложить в ряд, кот. сходится для любого Х. Поэтому e^λ = = 1+ λ + λ²/2! + …+ λ^m/m! +… Тогда = e^—λ = e^—λ e^λ =1. Найдем м.о. и дисперсию СВ Х, распределенной по закону Пуассона. M(X) = = = =λe^λ = λe^—λ e^λ = λ = np. Суммирование начинается с m=1, т.к. 1-ый член суммы соответствующий m=0 равен 0. Дисперсию СВ Х найдем по формуле D(X) = M(X²) – (M(X))². M(X²) = = e^—λ = e^—λ = λ² e^—λ + λ e^—λ = λ² e^—λ e^λ + λ e^—λ e^λ = λ² +λ. Тогда D(X) = λ² +λ — λ² = λ = np. Т.о. мат. ожидание и дисперсия СВ, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру этого распр. λ.

Показательное распределение.

Показательным (экспоненциальным) называют распр. вер. НСВ Х, которое описывается ф-цией плотности вер. , где λ>0 постоянна и называется параметром показательного распр. Примером НСВ, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных соб. простейшего потока, где λ – интенсивность потока. Найдем ф-цию распр. F(x) СВ, распределенной по показательному закону: F(x) = = . Итак,

Определим числовые хар-ки СВ, распределенной по показательному закону. Мат. ожидание: M(X) = = = . Дисперсия: D(X) = = = 2/λ² – 1/λ² = 1/λ². Среднеквадратическое отклонение σ(Х) = 1/λ и, следовательно, совпадает с мат. ожиданием.