Теорема о вероятности суммы событий

Теорема о вероятности суммы событий

Теорема сложения вероятностей

Суммой двух случайных событий А и В называется события А + В состоящие в наступление хотя бы одного из событий А или В.

А В: 1) только А или 2) только В или 3) А и В

А + В: 1) только А или 2) только В

Теорема сложения для 2-х несовместных событий

Если А и В – несовместны, то вероятность наступления только одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В) = Р(А)+Р(В)

Следствие: эта теорема применима для любого конечного числа несовместных событий Р(А+В+С) = Р(А)+Р(В)+Р(С)

Теорема сложения для полно группы событий

Пусть события В₁, В₂,… образуют полную группу. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна 1. Р(В₁)+Р(В₂)+…+Р()=1

Теорема сложения для противоположных событий

Р(Ā)+Р(А)=1. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Условные вероятности. Теорема о вероятности произведения событий

Теорема умножения вероятностей

Пусть любое случайное событие называется событие А и В, состоящие в совместном наступление событий А и В

Случайное событие (с.с.) – то, что может произойти или не произойти при осуществление определенной совокупности условий S

Если никаких других ограничений кроме условия S на случайное событие не накладывается, то вероятность этого события называется безусловной и обозначается Р(А)

Условной вероятностью события В называется вероятность этого события, вычисленную в предположении, что событие А уже произошло и обозначается

Событие называется зависимым о события А, если вероятность события В изменяется в зависимости от того, происходит ли событие А или нет. Если не изменяется, то событие А и В – независимы

Теорема

Пусть А и В – зависимое с.с.

Р(А*В) = Р(А)*

Вероятность совместного наступления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного, на условную вероятность другого, вычисленную предположением, что первое событие уже произошло

Теорема

Пусть А и В – независимое с.с.

= Р(В)

Так как вероятность события В не изменяется в зависимости от того, происходит событие А или нет

Теорема

Пусть А и В – независимое с.с.

Р(А*В) = Р(А)*Р(В)

Вероятность совместного наступления всех независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

Теорема

Пусть А,В,С…К, L – зависимое с.с

Р(А,В,С…К, L) = Р(А)*

Вероятность совместного наступления конечного числа зависимых событий равна произведению условных вероятностей этих событий относительных произведению предшествующих каждому из них

Теорема

Пусть А,В,С…К, L – независимое с.с.

Р(А,В,С…К, L) = Р(А)*Р(В)*Р(С)…*Р(L)

Вероятность наступления конечного числа независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

Формула полной вероятности

Пусть событие А может произойти лишь при условии наступления одного из независимых событий В₁, В₂,.. , которые образуют полную группу. В этом случае вероятность события А можно найти из теоремы

Теорема

Р(А) = Р(В₁)* )* А)+…+Р( * – формула полной вероятности

Вероятность события А, которое может произойти лишь при условии наступления одного из независимых событий В₁, В₂,.. , которые образуют полную группу, равна сумме произведений вероятности этих событий на соответствующую условию вероятность события А

Формула Байеса

Р(А) – вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂,.. , которые образуют полную группу.

В связи с тем, что не известно, которое из событий В₁, В₂,.. произойдет, эти события называются предположениями или гипотезами. Выясним, как изменится вероятность каждой из гипотез в связи с наступающим событием А, т.е. вычислим условие вероятности

Найдем вероятность совместного наступления событий А и В₁. Используем теорему умножения для 2-х зависимых событий

Р(А*В₁) = Р(А)*

Р(В₁*А) = Р(В₁)*

Т.к. в левой части обоих формул находятся вероятность одного и того же события, левые части равны, равны и правые

Р(А)* = Р(В₁)*

Аналогично можно получить формулы для условных вероятностей остальных гипотез

Эти формулы называются формулой Байеса в которых вероятность А в значении находится по формуле полной вероятности: Р(А) = Р(В₁)* + Р(В₂)* +…+ Р()*

Формула Бернулли

– вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А произойдет равно К раз

В общем случае можно утверждать, что вероятность наступления события А в n независимых испытаниях:

1) не менее К раз:

2) не более К раз

3) более К раз

4) менее К раз

Случайные величины

Переменные величины которые принимают различные значения в зависимости о случая, называются случайные величины

Обозначаются: заглавными латинским буквами X;Y;Z..

значение, которое принимают случайные величины в результате испытания, называют ее возможные значения

Х – число очков, выпавших при подбрасывание игральной кости: х₁=1, х₂=2,х₃=3,х₄=4,х₅=5,х₆=6

Случайные величины подразделяются на 2 вида: дискретные и непрерывные

Дискретной называют случайную величину, возможное значение которой образует дискретный ряд чисел. Число этих значений может быть конечным и бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, возможное значение которой полностью заполняет некоторый промежуток (конечный или бесконечный). Число всегда бесконечно

Нормальное распределение.

Нормальный закон распр-я н.с.в. – закон, который хар-ся след.пл-тью распр-я.

→ норм-ый закон опред-ся двумя параметрами а и (жигма)

= а

= Q₂

Q= D(Х) под корнем = Q (Х), → параметр a = мат. ожид-ю, а пар. Q = среднему квадратич. О откл- ю нормально распр-ой с.в.х.

Вариационный ряд.

Вариационный ряд - последовательность всех элементов выборки, расположенных в неубывающем порядке. Одинаковые элементы повторяются.

По этому ряду уже можно сделать несколько выводов. Например, средний элемент вариационного ряда (медиана) может быть оценкой наиболее вероятного результата измерения. Первый и последний элемент вариационного ряда (т.е. минимальный и максимальный элемент выборки) показывают разброс элементов выборки. Иногда если первый или последний элемент сильно отличаются от остальных элементов выборки, то их исключают из результатов измерений, считая, что эти значения получены в результате какого-то грубого сбоя, например, техники.

17. Графическое изображение вариационных рядов, полигон и гистограмма.

Графическое изображение вариац. рядов: 1. Полигонная частота- линия отрезка, которой соединяют точки с координатами (х1,н1) (х2,н2) (хн,нк). Точки соединяются с координатами (х1,в1) (х2,в2) (хн,вн).

2. Для непрерывного распр-я колличеств-ти признака Х, используют гистограмму частот или относит. частот. Для гистограммы относит. частот высоты прямоугол = ви: альфа.

Теорема о вероятности суммы событий

Теорема сложения вероятностей

Суммой двух случайных событий А и В называется события А + В состоящие в наступление хотя бы одного из событий А или В.

А В: 1) только А или 2) только В или 3) А и В

А + В: 1) только А или 2) только В

Теорема сложения для 2-х несовместных событий

Если А и В – несовместны, то вероятность наступления только одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В) = Р(А)+Р(В)

Следствие: эта теорема применима для любого конечного числа несовместных событий Р(А+В+С) = Р(А)+Р(В)+Р(С)

Теорема сложения для полно группы событий

Пусть события В₁, В₂,… образуют полную группу. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна 1. Р(В₁)+Р(В₂)+…+Р()=1

Теорема сложения для противоположных событий

Р(Ā)+Р(А)=1. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.