Условные вероятности. Теорема о вероятности произведения событий

Теорема умножения вероятностей

Пусть любое случайное событие называется событие А и В, состоящие в совместном наступление событий А и В

Случайное событие (с.с.) – то, что может произойти или не произойти при осуществление определенной совокупности условий S

Если никаких других ограничений кроме условия S на случайное событие не накладывается, то вероятность этого события называется безусловной и обозначается Р(А)

Условной вероятностью события В называется вероятность этого события, вычисленную в предположении, что событие А уже произошло и обозначается

Событие называется зависимым о события А, если вероятность события В изменяется в зависимости от того, происходит ли событие А или нет. Если не изменяется, то событие А и В – независимы

Теорема

Пусть А и В – зависимое с.с.

Р(А*В) = Р(А)*

Вероятность совместного наступления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного, на условную вероятность другого, вычисленную предположением, что первое событие уже произошло

Теорема

Пусть А и В – независимое с.с.

= Р(В)

Так как вероятность события В не изменяется в зависимости от того, происходит событие А или нет

Теорема

Пусть А и В – независимое с.с.

Р(А*В) = Р(А)*Р(В)

Вероятность совместного наступления всех независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

Теорема

Пусть А,В,С…К, L – зависимое с.с

Р(А,В,С…К, L) = Р(А)*

Вероятность совместного наступления конечного числа зависимых событий равна произведению условных вероятностей этих событий относительных произведению предшествующих каждому из них

Теорема

Пусть А,В,С…К, L – независимое с.с.

Р(А,В,С…К, L) = Р(А)*Р(В)*Р(С)…*Р(L)

Вероятность наступления конечного числа независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

Формула полной вероятности

Пусть событие А может произойти лишь при условии наступления одного из независимых событий В₁, В₂,.. , которые образуют полную группу. В этом случае вероятность события А можно найти из теоремы

Теорема

Р(А) = Р(В₁)* )* А)+…+Р( * – формула полной вероятности

Вероятность события А, которое может произойти лишь при условии наступления одного из независимых событий В₁, В₂,.. , которые образуют полную группу, равна сумме произведений вероятности этих событий на соответствующую условию вероятность события А

Формула Байеса

Р(А) – вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂,.. , которые образуют полную группу.

В связи с тем, что не известно, которое из событий В₁, В₂,.. произойдет, эти события называются предположениями или гипотезами. Выясним, как изменится вероятность каждой из гипотез в связи с наступающим событием А, т.е. вычислим условие вероятности

Найдем вероятность совместного наступления событий А и В₁. Используем теорему умножения для 2-х зависимых событий

Р(А*В₁) = Р(А)*

Р(В₁*А) = Р(В₁)*

Т.к. в левой части обоих формул находятся вероятность одного и того же события, левые части равны, равны и правые

Р(А)* = Р(В₁)*

Аналогично можно получить формулы для условных вероятностей остальных гипотез

Эти формулы называются формулой Байеса в которых вероятность А в значении находится по формуле полной вероятности: Р(А) = Р(В₁)* + Р(В₂)* +…+ Р()*

Последовательность независимых испытаний

Испытание называется независимым относительно события А, если вероятность появления этого события в каждом испытании не зависит от резервов в других испытаниях, где А – событие, появление которого интересует нас в каждом испытании.

Рассмотрим случай независимых испытаний, вероятность появления события А в каждом из которых есть величина постоянная

Р(А) = р Р(А) = q

Из теоремы сложения вероятности противоположных событий Р(А)+Р(Ā) = 1 следует, что Р(Ā) = q = 1 – p

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

1. Если испытание независимо

2. Вероятность наступления события А – постоянна (в каждом испытании), то вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности (р) вычисляется по формуле

Формула Бернулли

– вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А произойдет равно К раз

В общем случае можно утверждать, что вероятность наступления события А в n независимых испытаниях:

1) не менее К раз:

2) не более К раз

3) более К раз

4) менее К раз