Числовые характеристики дискретных случайных величин

Закон распределения полностью характеризует дискретную случайную величину. Однако, когда невозможно определить закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины:

Математическое ожидание, Дисперсия, Среднее квадратичное отклонение

Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.

Математическое ожидание M дискретной случайной величины - это среднее значение случайной величины, равное сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

11. Функция распределения вероятностей случайной величины Определение функции распределения Вспомним, что дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим: он неприменим, например, для непрерывных случайных величин. Действительно, рассмотрим случайную величину, возможные значения которой сплошь заполняют интервал. Можно ли составить перечень всех возможных значений? Очевидно, что этого сделать нельзя. Этот пример указывает на целесообразность дать общий способ задания любых типов случайных величин. С этой целью и вводят функции распределения вероятностей случайной величины. Пусть — действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что примет значение, меньшее, т.е. вероятность события, обозначим через. Разумеется, если изменяется, то, вообще говоря, изменяется и, т.е. — функция от.Функцией распределения называют функцию, определяющую вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее, т.е. Геометрически это равенство можно истолковать так: есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки.Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция». Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной величины: случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Плотность распределения вероятностей НСВ. Вероятность попадания НСВ. Свойства плотности распределения. Числовые характеристики НСВ.

Определение и свойства функции распределения сохраняются и для непрерывной случайной величины, для которой функцию распределения можно считать одним из видов задания закона распределения. Но для непрерывной случайной величины вероятность каждого отдельного ее значения равна 0. Это следует из свойства 4 функции распределения: р(Х = а) = F(a) — F(a) = 0. Поэтому для такой случайной величины имеет смысл говорить только о вероятности ее попадания в некоторый интервал.

Вторым способом задания закона распределения непрерывной случайной величины является так называемая плотность распределения (плотность вероятности, дифференциальная функция).

Определение 5.1. Функция f(x), называемая плотностью распределения непрерывной случайной величины, определяется по формуле:

f (x) = F′(x),

то есть является производной функции распределения.

Свойства плотности распределения.

1) f(x) ≥ 0, так как функция распределения является неубывающей.

2), что следует из определения плотности распределения.

3) Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, b) определяется формулой Действительно,

4) (условие нормировки). Его справедливость следует из того, что а

5) так как при

Таким образом, график плотности распределения представляет собой кривую, располо-женную выше оси Ох, причем эта ось является ее горизонтальной асимптотой при (последнее справедливо только для случайных величин, множеством возможных значений которых является все множество действительных чисел). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, равна единице.

Замечание. Если все возможные значения непрерывной случайной величины сосредоточе-ны на интервале [a, b], то все интегралы вычисляются в этих пределах, а вне интервала [a, b] f(x) ≡ 0.

13. Числовые характеристики непрерывных случайных величин Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Их свойства и примеры. Закон распределения (функция распределения и ряд распределения или плотность веро-ятности) полностью описывают поведение случайной величины. Но в ряде задач доста-точно знать некоторые числовые характеристики исследуемой величины (например, ее среднее значение и возможное отклонение от него), чтобы ответить на поставленный во-прос. Рассмотрим основные числовые характеристики дискретных случайных величин. Математическое ожидание. Определение 7.1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называ-ется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности: М(Х) = х1р1 + х2р2 + … + хпрп. (7.1)Если число возможных значений случайной величины бесконечно, то, если полученный ряд сходится абсолютно. Замечание 1. Математическое ожидание называют иногда взвешенным средним, так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов. Замечание 2. Из определения математического ожидания следует, что его значение не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольше-го. Замечание 3. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучай-ная (постоянная) величина. В дальнейшем увидим, что это же справедливо и для непре-рывных случайных величин.

Нормальное распределение.

Нормальный закон распр-я н.с.в. – закон, который хар-ся след.пл-тью распр-я.

→ норм-ый закон опред-ся двумя параметрами а и (жигма)

= а

= Q₂

Q= D(Х) под корнем = Q (Х), → параметр a = мат. ожид-ю, а пар. Q = среднему квадратич. О откл- ю нормально распр-ой с.в.х.