Случайные события и вероятности

ГЛАВА I

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕРОЯТНОСТИ

Случайные события. Классическое определение вероятности

1. Понятие о случайном событии. Опыт, эксперимент, наблюде­ние явления называют испытанием. Испытаниями, например, явля­ются: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости (кубика с нанесенным на каждую грань числом очков — от одного до шести). Результат, исход испытания называется событием. Событиями являются: выпадение герба или цифры, попадание в цель или промах, появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости.

Для обозначения событий используются большие буквы латин­ского алфавита: А, В, С и т.д.

Определение 1. Два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример1. Испытание: однократное бросание игральной ко­сти. Событие А — появление четырех очков, событие В — появление четного числа очков. События А и В совместимые.

Определение 2. Два события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример 2. Испытание: однократное бросание монеты. Собы­тие А — выпадение герба, событие В— выпадение цифры. Эти со­бытия несовместимы, так как появление одного из них исключает появление другого.

Несовместимость более чем двух событий в данном испытании означает их попарную несовместимость.

Пример 3. Испытание: однократное бросание игральной ко­сти. Пусть события А₁, А_г, А₃, А , А₅, А ₆ — соответственно выпа­дение одного очка, двух, трех и т.д. Эти события являются несо­вместимыми.

Определение 3. Два события А и В называются противопо­ложными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.

Событие, противоположное событию А, обозначают через .

П р и м е р 4. Испытание: однократное бросание монеты. Собы­тие А — выпадение герба, событие В— выпадение цифры. Эти со­бытия противоположны, так как исходами бросания могут быть лишь они_и появление одного из них исключает появление другого, т. е. А = или = В.

Определение 4. Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исхо­дом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.

Пример 5. Испытание: извлечение шара из урны, в кото­рой все шары белые. Событие А — вынут белый шар — достовер­ное событие; событие В — вынут черный шар — невозможное со­бытие.

Заметим, что достоверное и невозможное события в данном ис­пытании являются противоположными.

Определение 5. Событие А называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испы­тании.

Пример 6. Событие А₆ — выпадение шести очков при броса­нии игральной кости — случайное. Оно может наступить, но может и не наступить в данном испытании.

Пример 7. Событие А₉₈ — прорастание девяноста восьми зе­рен пшеницы из ста — случайное. Это событие может наступить, но, может быть, прорастет зерен больше или меньше.

Алгебра событий.

Определение 1. Суммой событий A и В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из со­бытий А или В.

Пример 1. Испытание: стрельба двух стрелков (каждый дела­ет по одному выстрелу). Событие А — попадание в мишень первым стрелком, событие В — попадание в мишень вторым стрелком. Сум­мой событий А и В будет событие С=А+В, состоящее в попадании в мишень по крайней мере одним стрелком.

Аналогично суммой конечного числа событий А , А₂,..., А_к называется событие А = А +А₂ +... + A_к, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А (і =1,..., к).

Из определения 1 непосредственно следует, что А + В = В + А. Справедливо также и сочетательное свойство. Однако А+А=А (а не 2А, как в алгебре).

Определение 2. Произведением событий А и В называется событие С=АВ, состоящее в том, что в результате испытания про­изошли и событие А, и событие В.

Аналогично произведением конечного числа событий А , А₂, …, A называется событие А = А А₂... А_к, состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.

В условиях предыдущего примера произведением событий А и В будет событие С=АВ, состоящее в попадании в мишень двумя стрелками.

Из определения 2 непосредственно следует, что АВ = ВА.

Справедливы также сочетательный и дистрибутивный законы. Однако АА = А (а не А^г).

3. Классическое определение вероятности. Всякое испытание вле­чет за собой некоторую совокупность исходов — результатов испы­тания, т. е. событий. Во многих случаях возможно перечислить все события, которые могут быть исходами данного испытания.

Определение 1. Говорят, что совокупность событий обра­зует полную группу событий для данного испытания, если его ре­зультатом обязательно становится хотя бы одно из них.

Примеры полных групп событий — выпадение герба и выпаде­ние цифры при одном бросании монеты; попадание в цель и про­мах при одном выстреле; выпадение одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков при одном бросании игральной кости.

Рассмотрим полную группу попарно несовместимых событий U₁,U₂,..., U_n,, связанную с некоторым испытанием. Предположим, что в этом испытании осуществление каждого из событий U (і = 1, 2,..., п) равновозможно, т. е. условия испытания не создают преимуществ в появлении какого-либо события перед другими возможными.

Определение 2. События U U₂,..., U_n, образующие пол­ную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, называют элементарными событиями.

Пример 1. Вернемся к опыту с подбрасыванием игральной кости. Пусть U — событие, состоящее в том, что кость выпала гранью с цифрой і. Как уже отмечалось (п. 1, 3), события U₁ U₂,..., U , образуют полную группу попарно несовместимых событий. Так как кость предполагается однородной и симметричной, то собы­тия U₁ U₂,..., U , являются и равновозможными, т.е. элементар­ными.

Определение 3. Событие А называется благоприятствую­щим событию В, если наступление события А влечет за собой на­ступление события В.

Пример 2. Пусть при бросании игральной кости события U₂, U₄ и U ₆ — появление соответственно двух, четырех и шести очков, а А — событие, состоящее в появлении четного числа очков; собы­тия U₂, U₄ и U ₆ благоприятствуют событию А.

Определение 4 (классическое определение ве­роятности). Вероятностью Р(А) события А называется отноше­ние т/п числа элементарных событий, благоприятствующих собы­тию А, к числу всех элементарных событий, т. е.

Р(А) = т/п.

Пример 3. Вычислим вероятность выпадения герба при од­ном бросании монеты. Очевидно, событие А — выпадение герба — и событие В— выпадение цифры — образуют полную группу несов­местимых и равновозможных событий для данного испытания. Значит, здесь п = 2. Событию А благоприятствует лишь одно собы­тие—само А, т.е. здесь m=1. Поэтому Р(А) = .

П р и м ер 4. Очевидно, что при одном бросании игральной кости (вероятность выпадения какой-либо цифры от 1 до 6 будет равна

P(U ) = , i =l, 2,..., 6.

Пример 5. Найдем вероятность того, что при однократном бросании игральной кости выпадет число очков, делящееся на 2 (событие А).

Число элементарных событий здесь 6. Число благоприятствую­щих элементарных событии 3 (выпадение 2, 4 и 6). Поэтому

Пример 6. При составлении команды космического корабля возникает вопрос о психологической совместимости отдельных членов экипажа. Допустим, что надо составить команду из трех человек: командира, инженера и врача. На место командира есть три кандидата: а₁, а₂ , a ₃; на место инженера — четыре кандидата: Ь , Ь₂, Ь , b , на место врача —два кандидата: с₁, с₂. Проведенная проверка показала психологическую несовместимость командира а₂ с инженерами b₃ b ₄ и с врачом с₂, а также инженера Ь_г с врачом с_г. Будем для простоты считать, что без учета фактора несовместимо­сти все варианты составления коман­ды равновозможны. Какова в этом случае вероятность того, что будет составлен экипаж, все члены которо­го психологически совместимы друг с другом?

Представим все варианты команды, при которых члены экипажа совмес­тимы друг с другом в виде «дерева» (рис. 1). Число ветвей этого дерева, т. е. исходов, благоприятствующих событию А,равно 16, а общее число воз­можных комбинаций по правилу произведения равно 4 3 2 = 24. Искомая вероятность

Задача (Вероятности рождения мальчиков и девочек). Будем предполагать, что случаи рождения мальчика и девочки — равновозможные события.

Пусть в семье двое детей. Какова вероятность, что оба ребен­ка — мальчики? Если известно, что один мальчик, какова вероят­ность, что оба ребенка — мальчики?

На первый вопрос ответить нетрудно. Имеется четыре равно-возможных исхода: ММ, МД, ДМ, ДД (М— мальчик, Д— девочка). Исходы МД и ДМ различны, так как в первом из них сначала родился мальчик, а потом девочка, во втором — наоборот. Из этих четырех исходов только один ММ благоприятствует нашему собы­тию. Отсюда следует, что Р(ММ) =

Если дополнительно известно, что один ребенок — мальчик, то событие ДД исключается. Из трех равновозможных событий ММ, МД, ДМ по-прежнему только одно ММ благоприятствует желаемо­му исходу. Поэтому Р(ММ) =

Если известно, что старший ребенок— мальчик, то исключают­ся исходы ДМ и ДД. В этом случае Р(ММ) = .

Из приведенного классического определения вероятности выте­кают следующие ее свойства:

1. Вероятность достоверного события равна единице.
Действительно, достоверному событию должны благоприятство­вать все п элементарных событий, т. е. т = п и, следовательно,

Р(А) = т/п = п/п = 1.

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

В самом деле, невозможному событию не может благоприятст­вовать ни одно из элементарных событий, т.е. т = 0, откуда

Р(А) = т/п = 0/п = 0.

3. Вероятность случайного события есть положительное число,
заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных событий. Поэтому в этом случае 0<т<п и, значит, 0< т / п <1. Следовательно, 0<Р(А)<1.

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двой­ному неравенству

0 Р(А) 1.

Замечание. Из определения вероятности следует, что эле­ментарные события являются равновероятными, т. е. обладают од­ной и той же вероятностью.

Свойства вероятности

Формула полной вероятности.

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из n попарно несовместимых событий В₁ В₂,..., В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А) = Р(В₁)Р_B1(А)+ Р(В₂)Р_B2(А)+...+Р(Вn)Р_Bn(А) (1.14)

 

(формула полной вероятности)

 

События В₁ В₂,..., В_n будем называть гипотезами.

Доказательство. Событие А может наступить лишь при условии наступления одного из событий В₁ В₂,..., В_n, т. е. А = В₁ А + + B₂+... + В_n А, причем ввиду несовместимости событий В₁ В₂,... В_n события В₁А, В₂А,..., В_n А также несовместимы. Поэтому на основании теорем сложения и умножения вероятностей имеем

Р(А)+Р(В₁ А)+Р(В₂ А)+…+Р(В_n А)=Р(В₁)Р_B1(А)+Р(В₂)P_B2(A)+…+Р(В_n)Р_Bn(А)

П р и м е р 1. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом находятся две белые мыши и одна серая, во втором — три белые и одна серая, в третьем — две белые и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?

Обозначим В₁ — выбор первого ящика, В₂ — выбор второго ящика,B₃— выбор третьего ящика, А — извлечение белой мыши.

Так как все ящики одинаковы, то Р(В₁)=Р(В₂)=Р(В₃)=1/3. Если выбран первый ящик, то Р_В1(А)=2/3. Аналогично Р_В2(А)=3/4 Р_В2(А)=3/4 Р_В3(А)=1/3

Наконец, по формуле (1.14) получаем

Р(А)=1/3*2/3+1/3*3/4+1/3*1/2=23/36.

 

Пример 2. В санатории 30% пациентов — мужчины (М) и 70%— женщины (Ж). Болезни сердца среди мужчин встречаются два раза чаще, чем среди женщин. Какова вероятность того, что наугал выбранный пациент сердечник?

Обозначив С — начилие заболевания сердца, запишем:

Р(М) = 0,3, Р(Ж) = 0,7, Рм(С) = 2/3, Рж(С) =1/3

Подставлям эти числа в формулу полной вероятности (1.14), получим

Р(С) = 0,3*2/3 + 0,7 *1/3 = 0,23+0,2 = 0,43..

Задача (смог над городом). На город примерно 100 дней в году дует ветер с севера и 200 дней в году — с запада. Промышленные предприятия, расположенные на севере, производят выброс вредных веществ каждый третий день, а расположенные на западе —

последний день каждой недели. Как часто город подвергается воздействию вредных выбросов? Иными словами, какова вероятность того, что в наугад выбранный день город будет накрыт промышленным смогом?

Обозначив С — ветер с севера, З — ветер с запада и В — воздействие вредных выбросов на город, можем записать:

Р(С)=100/365=20/73=0,27; Р(З)=200/365=40/73=0,55;

Р_С(В)=1/3=0,33; Р_З(В)=1/7=0,14.

Отсюда по формуле погной вероятности

Р(В)=Р(С)Р_с(В)+Р(З)Р_З(В)=20/73*1/3+40/73*1/7=0,09+0,08=0,17

Таким образом, около двух месяцев в году город накрыт смогом.

5. Формулы Байеса. Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, осуществлено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Спрашивается, как изменились (в связи с тем, что событие А уже произошло) вероятности гипотез, т. е. величины Р(В_k),k = 1, 2,..., n?

Найдем условную вероятность P_A (В_k) По формуле (1.8) (см. п. 2)

имеем

Р(АВ_K) = Р(А)Р_A(В_K) = Р(В_K)Р_BK(А).

Отсюда,

Р_А(В_к)= Р(В_к) Р_Вк(А)/Р(А)

Наконец, используя формулу полной вероятности,находим:

Р_А(В_к)= Р(В_к) Р_Вк(А)/ Р_Вк(А)/ , к=1,2,…n. (1.15)

Выражения (1.15) называют формулами Байеса*.

П р и м е р. Партия деталей изготовлена тремя рабочими, причем первый рабочий изготовил 25% всех деталей, второй — 35%, третий — 40%. В продукции первого рабочего брак составляет 5%, в продукции второго — 4% и в продукции третьего — 2%. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена вторым рабочим?

Введем обозначения для событий: А — выбранная для контроля деталь оказалась бракованной; В₁, В₂, В₃ — эта деталь изготовлена соответственно первым, вторым и третьим рабочим. Имеем:

Р(В₁)=0,25; Р(В₂)=0,35; Р(В₃)=0,40;

Р_В1(А)=0,05; Р_В2(А)=0,04; Р_В3(А)=0,02.

 

По формуле Байеса находим

Р_А(В₂)=0,35*0,04/0.25*0.05+0.35*0.04+0.40*0,02=0,4

Как здесь, так и в ряде других примеров для облегчения вычислений можно использовать калькулятор.

ГЛАВА 11

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

§ 2.1. Дискретные случайные величины

1. Понятие ”случайные величины”.

О п р е дел е н и е 1. Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества всезможных значений.

П р и м е р ы. 1) Число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости, есть случайная величина, она может принять одно из значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

2) прирост массы домашнего животного за месяц есть случайная величина, которая может иметь значение из некоторого число- вого промежутка;

3) число родившихся мальчиков среди пяти новорожденных есть случайная величина, которая может принять значения 0, 1, 2, 3, 4, 5;

4) расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина, возможные значения которой принадлежат некоторому промежутку.

Случайные величины обычно обозначают прописными буквами Х, У, 2 а их возможные значения — соответствующими строчными буквами х, у,. Например, если случайная величина Х имеет три возможных значения, то они будут обозначены так:

х1, х2, х3.

О п р е д е л е н и е 2. Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной.

Рассмотрим дискретные случайные величины, множество допустимых значений которых конечно случайные величины из примеров 1) и 3) дискретные.

О п р е д е л е н и е 3. Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка, называется непрерывной случайной величиной.

Случайные величины из примеров 2) и 4) являются непрерывными.

О п р е д е л е н и е 4. Под суммой (произведением) случайных величин Х и У понимают случайную величину 7=Х+ У (7= ХУ), возможные значения которой состоят из сумм (произведений) каждого возможного значения величины X и каждого возможного значения величины Y.

2. Законы распределения дискретных случайных величин. Рассмот­рим дискретную случайную величину X с конечным множеством возможных значений. Величина X считается заданной, если пере­числены все ее возможные значения, а также вероятности, с кото­рыми величина X может принимать эти значения. Указанный пе­речень всех ее возможных значений и их вероятностей называется законом распределения дискретной случайной величины. Закон распре­деления дискретной случайной величины может быть задан с по­мощью таблицы:

 

X	х1	х2	х3	…	хn - 1	хn
p	р1	р2	р3	…	pn - 1	pn

В верхней строке выписываются все возможные значения х ₁, х ₂,..., х _n величины X, в нижней строке выписываются вероятности р₁, р₂,..., p_n значений х₁, х₂, ..., х_n. Читается таблица следующим образом: случайная величина X может принимать значения х_i с вероятностями р_i (i = 1, 2,..., n).

Так как события X = х_i ( i = 1, 2,..., n) образуют полную группу несовместимых событий, то

р₁ + р₂ +... + p_n =1

П р и м е р. В денежной лотерее раньше разыгрывались: 1 выиг­рыш в 1000 р., 10 выигрышей по 100 р. и 100 выигрышей по 1 р. при общем числе билетов 10 000. Найдем закон распределения слу­чайного выигрыша X для владельца одного лотерейного билета.

Здесь возможные значения для X есть: x₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 100, х₄ = 1000. Вероятности их будут: p ₂ = 0,01, р ₃ = 0,001, р ₄ = 0,0001, p ₁ = 1 - 0,01 - 0,001 - 0,0001 = 0,9889. Следовательно, закон распреде­ления выигрыша X может быть задан таблицей:

 

X
p	0,9889	0,01	0,001	0,0001

В заключение отметим так называемую «механическую» интер­претацию представленной таблицы. Представим себе, что некото­рая масса, равная единице, распределена по оси абсцисс так, что в п отдельных точках х₁, х₂, ..., х _n сосредоточены соответственно массы р ₁, р ₂, ..., p _n. Тогда эта таблица описывает систему материаль­ных точек, размещенных на оси абсцисс.

 

Случайной величины

 

1. Понятие математического ожидания. Закон распределения полностью задает дискретную случайную величину. Однако часто встречаются случаи, когда закон распределения случайной величи­ны неизвестен. В таких случаях случайную величину изучают по ее числовым характеристикам. Одной из таких характеристик является математическое ожидание.

Пусть некоторая дискретная случайная величина X с конечным числом своих значений задана законом распределения:

 

X	x1	x2	…	xn
p	р1	р2	…	pn

О п р е д е л е н и е. Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех возможных значений величины X на соответствующие вероятности:

(2.1)

М(Х) = x₁p₁ + х₂р₂ +... + х_nр_n

П р и м е р. Найдем математическое ожидание выигрыша X в примере из § 2.1 (п. 2).

Используя полученную там таблицу, имеем

М(Х) = 0 • 0,9889 + 1 • 0,01 + 100 • 0,001 + 1000 • 0,0001 = 0,21 (руб.).

Очевидно, М(Х) = 21 коп. есть справедливая стоимость одного лотерейного билета.

Т е о р е м а. Математическое ожидание дискретной случайной величины X приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений (при достаточно большом числе испытаний).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что произведено п испытаний, в которых дискретная случайная величина X приняла значе­ния x ₁,..., х_k соответственно т₁,..., т_k раз, так что т₁ +... + т _k = п. Тогда среднее арифметическое всех значений, принятых величи­ной X, выразится равенством

xср =	x1m1 + x2m2 +... + xkmk
n

или

xср = x1	m1	+ x2	m2	+... + xk	mk
n	n	n

 

Так как коэффициент т_i/п является относительной частотой события «величина Х приняла значение х_i » (i =1, 2,..., k ), то

x_ср = x₁p₁* + x₂p₂* +... + x_kp_k*.

Из статистического определения вероятности следует, что при достаточно большом числе испытаний p_i* p_i (i = 1, 2,..., k). Поэтому

x_ср x₁p₁ + x₂p₂ +...+ x_kp_k,

или

x _ср М(Х).

Таким образом, математическое ожидание случайной величины можно приближенно считать ее средним значением, что и делают на практике.

Обратимся теперь к механической интерпретации математического ожидания дискретной случайной величины X. Пусть на оси абсцисс расположены точки с абсциссами х₁, х₂,..., х_n,в которых сосредоточены соответственно массы р₁, р₂,.., p_n, причем р₁ + р₂ +...+ p_n = 1. Тогда математическое ожидание М(Х), определяемое формулой (2.1), есть ни что иное, как абсцисса центра масс данной системы материальных точек.

Правило трех сигм.

Полагая в выражении (2.27), получим P(

Но (см.таблицу приложения 3) и, значит, P(.

Формула (2.28) означает, что событие, состоящие в осуществлении неравенства имеет вероятность, близкую к единице, т.у, является почти достоверным. Эта формула выражает так называемое правило трех сигм: если случайная величина распределена по нормальному закону распределения, то модуль ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

В заключении заметим, что нормальное распределения вероятностей имеет в теории вероятностей больше значений. Нормальному закону подчиняется вероятность при стрельбе по цели, его используют в теории погрешностей физических измерений и т.п.

Закон больших чисел

Неравенство Чебышева.

Лемма. Пусть X- случайная величина, принимающая только неотрицательные значения, тогда P(X

Доказательство. Для простоты докажем это утверждение для дискретной величины Х, принимающие случайные значения x ,x при условии x . По теореме сложения вероятностей для несовместимых событий (параграф 1.3,п.1) имеем P(X

Где суммирование распространено на все значения больше или равные единице. Но для, x очевидно, P(X=x )

Поэтому P(X (2.30)

Добавим к правой части неравенства (2.30) сумму где x .Эта сумма неотрицательна,так как x по условию, а вероятность P(X=x . Поэтому

Коэффициент А найдем, возпользовавшись соотношением (2.17). Так как.

x / + A arctg x/ АП=1, откуда А=1/П.

Применяем формулу (2.16), получим функцию распределения F(x):

F(x)=

Наконец формулы (2.9) и (2.12) с учетом найденного значения функции F(x) дают P(0<X<1)=F(1)-F(0)=0,25.

Упражнения

1. Пусть случайная величина X— число очков, выпавших при подбра­сывании игральной кости. Найдите закон распределения случайной вели­чины X.

X
р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

 

 

2. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрываются 1 выигрыш в 500 р. и 10 выигрышей по 10 р. Найдите закон распределения случайного выигрыша X для владельца одного лотерейного билета.

 

X
p	0,89	0,1	0,01

 

3. Закон распределения случайной величины X задан таблицей:

X
р	0,3	0,2	0,5

 

Найдите математическое ожидание случайной величины X. [2,2]

4. Найдите математическое ожидание выигрыша X в упражнении 2.

[6 р.]

5. Найдите математическое ожидание случайной величины X, зная
закон ее распределения:

 

X
р	0,3	0,1	0,6

[3,9]

6. Проводятся 2 выстрела с вероятностями попадания в цель, равны­ми p₁ = 0,4; p₂ = 0,3. Найдите математическое ожидание общего числа по­паданий. [0,7]

7. Найдите математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей. [7]

8. Найдите математическое ожидание произведения числа очков, ко­торые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

[12,25]

9. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими за­
конами распределения:

X
р	0,1	0,3	0.6

И

У
p	0,8	0,2

Найдите математическое ожидание случайной величины XY. [32,56]

10. Найдите дисперсию случайной величины X, которая задана следую­щим законом распределения:

X
р	0,3	0,5	0,2

 

 

[2,01]

11.Известны дисперсии двух независимых случайных величин X, Y:.

Найдите дисперсию суммы этих величин. [7]

12.Дисперсия случайной величины X равна 5. Найдите дисперсию следующих величин: а)X-1; б) -2Х; в)3X+6.

[а) 5; б) 20; в) 45]

13—15. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайных величин, заданных различными законами распределения:

13.

 

X	-2	-1
р	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

 

14.

X
р	0,1	0,1	0,3	0,4	0,1

 

 

15.

х
р	0,2	0,5	0,2	0,1

 

16. К случайной величине прибавили постоянную α. Как при этом
изменяется ее: а) математическое ожидание; б) дисперсия?

[а) прибавится α; б) не изменится ]

17. Случайную величину умножили на α. Как при этом изменятся:
а) математическое ожидание; б) дисперсия?

[а) умножится на α; б) умножится на α²]

 

18. Случайная величина X принимает только 2 значения: 1 или -1, каж­дое с вероятностью 0,5. Найдите дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение σ(Х). [D(X) = 1; σ(x)=1]

19. Дисперсия случайной величины D(Х) = 6,25. Найдите среднее квадратическое отклонение σ(Х). [2,5]

20.Пусть закон распределения случайной величины X задан таблицей:

X
p	1/4 _______	1/2	1/4

 

Определите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение σ(Х).

[M(X)=11;D(X)=33;σ(X)≈5,75]

21. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

 

 

X
р	0,2	0,8

 

Найдите начальные моменты первого и второго порядков.

[ν1=4,6; ν2 = 21,8]

22. Дискретная случайная величина X задана законом распределения, приведенным в предыдущем примере. Найдите центральный момент вто­рого порядка. [μ₂ = 0,64]

23.Случайная величина X задана функцией распределения

 

0 при x≤-1

F(x)= при -1<x≤2

 

1 при x>2

Найдите вероятность того, что в результате испытания случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (0; 1).

[ ]

24.Случайная величина X задана функцией распределения

0 при x≤2

F(x)= при 2<x≤4

1 при x>4

Найдите вероятность того, что в результате испытания X примет значение,
заключенное в интервале (2; 3).

[0,5]

25. Случайная величина X задана плотностью вероятности

0 при x<0

f(x)= при 0≤x≤4

0 при x>4

 

Найдите вероятность попадания случайной величины X на отрезок

[-2; 3].

[ ]

26. Плотность вероятности случайной величины X задана выражением

Найдите вероятность того, что величина X попадает на интервал (-1; 1).

[0,5]

27. Случайная величина задана плотностью вероятности

0 при x<-

f(x)= α cos x при - ≤x≤

0 при x>

Найдите коэффициент α. [а = 0,5]

 

28. Дана дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины X

 

 

Найдите интегральную функцию распределения F(x).

 

 

29. Дана дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины X

 

Найдите интегральную функцию распределения F(x).

 

 

30. Функция

 

 

является плотностью вероятности случайной величины X. Найдите коэффициент А и функцию распределения F(x).

 

<