Глава 1. Случайные события и их вероятности

Введение

 

Цель данного посо­бия помочь студенту самостоятельно подготовиться к выполнению контрольных работ. При написании пособия авторы не ставили своей целью дать систематическое изложение теоретического материала. Перед каждой рассматриваемой задачей дается тот теоретический материал, который необходим для ее решения. Если студент ранее овладел необходимым теоретическим материалом, то вводную часть каждой задачи он может опустить и перейти непосредственно к решению задачи. Необходимо отметить, что приведенный теоретический материал достаточно полно охватывает курс указанного предмета. Авторы надеются, что пособие будет полезно студентам в овладении методами решения основных задач курса теории вероятностей и математической статистики.

Глава 1. Случайные события и их вероятности

 

Общее определение и свойства вероятности

 

Определение. Вероятностью события называется функция, определенная на пространстве элементарных исходов и удовлетворяющая трем условиям:

§ Для каждого события

(условие неотрицательности);

§ Для достоверного события

(условие нормировки);

§ Если , то

(теорема сложения для несовместных событий).

 

Свойства вероятности:

1. Вероятность события , противоположного событию , равна

.

Доказательство. Используем очевидное свойство суммы противоположных событий . Тогда, используя условие нормировки и теорему сложения для несовместных событий, получим:

,

Из двух последнего равенства следует, что

. n

 

2. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.

.

Доказательство. Используем очевидное свойство и теорему сложения для несовместных событий, получим:

,

откуда и следует данное свойство. n

 

3. Если событие влечёт за собой событие , то

.

Доказательство. Представим событие в виде суммы двух несовместных событий , .

Используя теорему сложения для несовместных событий, получим:

. n

 

4. Для каждого события , справедливо неравенство

.

Доказательство. Данное свойство следует из условий нормировки и теоремы сложения для несовместных событий. n

 

ГЛАВА 2. Классическая и геометрическая вероятности

Классическое определение вероятности

 

Вернемся к монете. Пространство элементных исходов содержит два элементарных исхода:

— появление «герба»;

— появление «решки».

В силу того, что монета симметрична, нельзя предпочесть «герб» «решке» (или наоборот). Следовательно, обоим элементарным исходам необходимо сопоставить одинаковую вероятность . Далее очевидно, что

.

Откуда получаем:

.

Рассмотрим общий случай. Пусть пространство состоит из всевозможных равнозначных исходов . Теперь каждому элементарному исходу поставим в соответствие вероятность .

Далее рассмотрим некоторое событие , которому соответствует ровно (благоприятных) элементарных исходов .

Положим

. (2.1.1)

Таким образом, в классической схеме вероятность любого события определяется как отношение числа благоприятных для события элементарных исходов к общему числу элементарных исходов .

Пример 1. В урне находятся белых и черных шаров. Из урны вынимают наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый (событие ).

m Решение. Число всевозможных исходов равно

.

Число благоприятных исходов равно

.

Таким образом, используя классическое определение вероятности, получаем

. l

Пример 2. Имеются две урны: в первой – белых и черных шаров; во второй – белых и черных шаров. Из каждой урны вынимается по шару. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми (событие А).

m Решение. Каждый шар из первой урны может комбинировать с каждым шаром из второй урны. Следовательно, число всевозможных исходов:

.

Аналогично, число благоприятных исходов:

.

Следовательно, используя классическое определение вероятности, получаем:

. l

 

Пример 3. Из колоды карт (36 листов) наудачу выбирается одна карта. Определить вероятность того, что она окажется тузом (событие А).

m Решение. Число всевозможных исходов равно:

.

Число благоприятных исходов равно числу тузов, т.е.

.

Таким образом, используя классическое определение вероятности, получаем:

. l

 

Условная вероятность

 

Рассмотрим следующий пример. Бросаются две игральные кости. Найдем вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8, если заранее известно, что сумма выпавших очков есть четное число. Всевозможные исходы запишем в виде таблицы 3.1:

Таблица 3.1

2 ^ой кубик 1 ^ый кубик

 

Из таблицы видно, что число всевозможных исходов равно 36, но число исходов, удовлетворяющих условию, при которых сумма очков есть четное число, равно 18. Из них ровно в 5 исходах сумма очков равна 8. Пользуясь классическим определением вероятности, находим, что искомая вероятность равна .

Заметим, что безусловная вероятность того, что сумма выпавших очков, равная 8, равна , т.е. задание дополнительного условия может повлиять на вычисление вероятности.

Найдем условную вероятность события при условии, что событие уже произошло. Для простоты рассмотрим классическую схему. Естественно положить, что данная вероятность есть отношение числа исходов , благоприятных совместному (одновременному) осуществлению событий и , к числу исходов, благоприятных событию , т.е.

.

Разделив числитель и знаменатель на число всевозможных исходов , получим:

.

Последняя формула может служить общим определением условной вероятности при аксиоматическом подходе.

Определение. Условной вероятностью события при условии, что событие уже произошло, называется отношение вероятности совместного (одновременного) осуществления событий и к вероятности события :

. (3.1.1)

 

Пример 1. При трехкратном подбрасывании монеты выпало два «герба». Найти условную вероятность того, что при втором подбрасывании выпал «герб».

m Решение. Рассмотрим следующие события:

— при трехкратном подбрасывании выпало два «герба»;

— при втором подбрасывании выпал «герб».

Событию соответствует два исхода: Г – Г – Р, Р – Г – Г.

Число всевозможных исходов при трехкратном подбрасывании монеты . Отсюда находим:

.

Аналогично, событию соответствует три исхода, следовательно, вероятность условия равна

.

Далее, применяя (3.1.1), получаем искомую вероятность

. l

 

Независимость событий

 

Определение. События A и B называются независимыми, если условная вероятность события A при условии B совпадает с безусловной вероятностью события A, т.е.

. (3.3.1)

Можно сформулировать и другое определение независимых событий и .

Определение. События A и B независимы, если

. (3.3.2)

Очевидно, что данные два определения равносильны.

Пример 7. Пусть события и независимы. Доказать, что независимыми являются пары событий и , и , и .

m Решение. Применяя определение независимости событий, и используя вероятность противоположного события, имеем

, т.е. ;

, т.е. . l

 

Пример 8. Зависимы или независимы несовместные события.

m Решение. Пусть события и несовместные, т.е. , причем . Тогда , т.к. события не пересекаются. Следовательно и зависимы.

Таким образом, несовместные события зависимы. l

 

Пример 9. Из полной колоды карт (52 листа) вынимается одна карта. Рассматриваются следующие события:

— появление туза;

— появление карты красной масти;

— появление бубнового туза.

Зависимы или независимы следующие пары событий: 1) и , 2) и , 3) и ?

M Решение.

, , следовательно, события независимы;

, , следовательно, события зависимы;

, , следовательно, события зависимы. l

 

Определение. События независимы в совокупности, если для всех

, выполнено равенство

Замечание. Из попарной независимости событий и не следует, что события независимы в совокупности.

 

Пример 10. Пусть эксперимент состоит в выборе одного из четырех шаров. Пусть три из них занумерованы цифрами 1, 2, 3, а на четвертом шаре имеются все эти цифры. Обозначим через событие, состоящее в том, что на выбранном шаре имеется цифра . Зависимы ли события , и .

m Решение. Так как, каждая цифра встречается дважды, то

.

Так как две различные цифры присутствуют только на одном шаре, то

,

следовательно, события , и попарно независимы.

Все три различные цифры присутствуют только на одном шаре

.

Таким образом, получаем, что события , и зависимы в совокупности, в то время как они являются попарно независимыми. l

 

Формула полной вероятности

Определение. События образуют полную группу несовместных событий (являются гипотезами), если они удовлетворяют двум требованиям:

§ они попарно несовместны, т.е. при ;

§ в результате опыта одно из событий обязательно должно произойти, т.е. .

Пусть имеется некоторое событие и известны вероятности и условные вероятности . Найдем вероятность .

 

Событие можно представить в виде (рис. 3.3):

,

причем события при , т.е. события и несовместны.

Тогда по аксиоме сложения:

.

Далее, применяя теорему умножения вероятностей , получаем:

. (3.4.1)

Это и есть формула полной вероятности.

 

Пример 11. Имеются две урны: в первой белых и черных шаров; во второй белых и черных шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают один шар. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

m Решение. Пусть искомое событие — вынут белый шар. Рассмотрим следующие гипотезы:

— переложен белый шар;

— переложен черный шар.

Очевидно, что

;

.

Теперь по формуле полной вероятности (3.4.1) получаем:

. l

 

Пример 12. В условиях предыдущей задачи из первой урны перекладывают сразу три шара (предполагается, что и ). Найти вероятность того, что шар, взятый из второй урны, будет белым.

m Решение. Пусть искомое событие — вынут белый шар. Рассмотрим гипотезы:

— вынутый шар принадлежит 1-ой урне;

— вынутый шар принадлежит 2-ой урне.

Так как во второй урне 3 шара принадлежат 1-ой урне, а принадлежат 2-ой, то вероятности гипотез равны:

.

Вероятность появления белого шара из первой урны не зависит от того, вынимается ли этот шар непосредственно из первой урны или после перекладывания во вторую. Следовательно, условная вероятность появления белого шара при условии того, что он изначально находился в первой урне, равна:

.

Аналогично условная вероятность появления белого шара при условии того, что он изначально находился во второй урне, равна:

.

По формуле полной вероятности (3.4.1) получаем:

. l

 

Пример 13. Среди 30 экзаменационных билетов: 25 «хороших» и 5 «плохих». Какова вероятность, отвечая вторым, взять «хороший» билет?

m Решение. Пусть искомое событие — второй отвечающий взял «хороший» билет. Рассмотрим следующие гипотезы:

— первый отвечающий взял «хороший» билет;

— первый отвечающий взял «плохой» билет.

Очевидно, что

;

.

По формуле полной вероятности (3.4.1), получим:

. l

 

Формула Байеса

 

Пусть имеется полная группа несовместных событий . Требуется найти вероятность события , если известно, что событие произошло.

По определению условной вероятности (3.4.1), имеем:

.

Далее, применяя теорему умножения вероятностей , получаем

. (3.5.1)

Последняя формула называется формулой Байеса или формулой гипотез (события называют еще гипотезами).

Если после опыта, который заканчивается появлением события , производится еще один опыт, в котором появляется или не появляется событие , то условная вероятность этого последнего события вычисляется по формуле полной вероятности, в которую подставлены не прежние вероятности гипотез , а новые :

. (3.5.2)

 

Пример 14. Имеются три урны: в первой — белых и черных шаров; во второй — белых и черных шаров, в третьей — белых шаров. Выбирается наугад урна и из нее вынимается шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что этот шар вынут из первой, второй или третьей урны.

m Решение. Пусть искомое событие — вынутый шар белый. Рассмотрим следующие гипотезы:

— выбрана первая урна;

— выбрана вторая урна;

— выбрана третья урна.

Очевидно, что:

.

Условные вероятности равны:

.

По формуле полной вероятности (3.4.1), находим, что

.

По формуле Байеса (3.5.1), находим:

.

Аналогично получаем, что

, . l

 

Пример 15. Имеются две урны: в первой — белых и черных шаров; во второй — белых и черных шаров. Выбирается наугад одна из урн и из нее вынимается один шар. Этот шар оказался белым (событие А). найти вероятность того, что следующий шар, который мы вынимаем из той же урны, будет тоже белым(событие В).

m Решение. Рассмотрим следующие гипотезы:

— выбрана первая урна;

— выбрана вторая урна.

Очевидно, что вероятности выбора урн равны:

.

Находим условные вероятности:

По формуле полной вероятности (3.4.1), получаем:

.

По формуле Байеса (3.5.1), получаем:

.

Далее применяем (3.5.2):

.

Условная вероятность появления второго белого шара при условии, что была выбрана первая урна, и из нее вынут белый шар:

.

Аналогично:

.

В итоге:

. l

 

Формула Бернулли

Определение. Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если каждое испытание имеет только два исхода, и вероятности исходов остаются неизменными для всех испытаний.

Обычно эти две вероятности обозначаются через и , исход с вероятностью называют «успехом» и обозначают символом 1, а второй – «неудачей» и обозначают символом 0. Очевидно, что и должны быть неотрицательными и должно выполняться равенство

. (4.1.1)

Пространство элементарных исходов каждого отдельного испытания состоит из двух исходов 1 и 0. Очевидно, пространство элементарных исходов испытаний Бернулли содержит последовательностей из символов 1 и 0. Так как испытания независимы, то вероятности перемножаются, т. е. вероятность любой конкретной последовательности есть произведение, полученное при замене символов 1 и 0 вероятности на и соответственно. Таким образом, вероятность исхода равна:

.

Но на практике нас, как правило, интересует не порядок появления успехов в последовательности испытаний Бернулли, а их общее число.

Теорема. Вероятность того, что в испытаниях Бернулли число успехов равно , вычисляется по формуле

, (4.1.2)

где — вероятность «успеха», а — вероятность «неудачи».

Доказательство. Событие «в испытаниях Бернулли число успехов равно и число неудач — » содержит столько элементарных исходов, сколько существует способов размещения символов на местах, т.е. . А так как вероятность конкретной последовательности, содержащей символов 1, равна , то в итоге получаем:

. n

Число успехов в испытаниях обозначают через , тогда . Очевидно, что есть случайная величина, а функция (4.1.2) является «распределением» этой случайной величины. Будем называть это распределение биномиальным. Слово биномиальное отражает тот факт, что (4.1.2) представляет собой m -й член биноминального разложения . Отсюда следует, что

.

 

Пример 1. Стрелок попадает в мишень с вероятностью . Найти вероятность того, что в результате пяти независимых выстрелов стрелок попадает:

a) ровно четыре раза;

б) не менее трех раз.

m Решение. Для решения данной задачи применим формулу (4.1.2), в которой:

.

а) Число успехов равно . Таким образом, искомая вероятность:

.

б) Обозначим — вероятность попадания не менее трех раз из пяти.

. l

 

Пример 2. Сколько испытаний с вероятностью успеха нужно произвести, чтобы вероятность хотя бы одного успеха была не меньше 0,5?

m Решение. Рассмотрим следующие события:

— в схеме Бернулли наблюдался хотя бы один успех;

— в схеме Бернулли не наблюдалось ни одного успеха.

Для решения задачи используем формулу (4.1.2), согласно которой вероятность того, что успехов не будет (т.е. число успехов равно нулю), равна:

.

Используя свойство вероятности противоположного события, получаем, что вероятность того, что будет хотя бы один успех, равна:

.

Остается найти наименьшее целое , для которого выполнено неравенство:

.

Решим последнее неравенство.

.

Разделив последнее неравенство на , получим

.

Наименьшим целым числом , удовлетворяющим последнему неравенству, является . l

 

Пример 3. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен):

а) три партии из четырех или пять из восьми;

б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми.

m Решение. Так как противники равносильны и ничейный исход партии исключен, то вероятности выигрыша и проигрыша каждой партии одинаковы и .

а) Вероятность выигрыша трех партий из четырех равна:

,

а вероятность выигрыша пяти партий из восьми равна:

.

Так как , то вероятнее выиграть три партии из четырех.

б) Вероятность выигрыша не менее трех партий из четырех равна:

а вероятность выигрыша не менее пяти партий из восьми равна:

Так как , то вероятнее выиграть не менее пяти партий из восьми. l

 

Формула Пуассона

 

При больших значениях числа испытаний применение формулы Бернулли (4.1.2) затруднительно. Поэтому применяются простые, но достаточно точные приближенные формулы для вычисления . Пусть число испытаний достаточно «велико», вероятность «успеха» достаточно «мала». Пусть произведение

(4.2.1)

и не мало, и не велико. В таких случаях удобно использовать для вероятности предложенное Пуассоном приближение (формула Пуассона), которое мы сейчас выведем. По формуле Бернулли (4.1.2)

(4.2.2)

При и сделанных выше допущениях очевидны следующие приближения:

, .

Следовательно, (4.2.2) примет вид:

, (4.2.3)

а это и есть формула Пуассона.

Замечание. При выводе формулы Пуассона (4.2.3) использовалось то, что мало.

Замечание. Формула Пуассона (4.2.3) зависит от и . Значения функции (4.2.2) можно определить следующими способами:

§ можно воспользоваться Приложением 1;

§ используя функцию ПУАССОН (x;среднее;интегральная) из EXCEL; в которой аргумент x равен числу «успехов» , аргумент «среднее» равен , аргумент «интегральная» должен равняться 0;

§ используя функцию dpois(k, l) из MATHCAD, в которой и .

 

Пример 4. Найти вероятность того, что среди 1460 человек ровно трое родились 29 февраля.

m Решение. Вероятность того, что один конкретный человек родился 29 февраля, равна , т.к. 29 февраля бывает ровно 1 раз в 4 года.

Далее находим коэффициент :

.

Применяя (4.2.2), получаем:

. l

 

Пример 5. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность того, что при 5000 выстрелах в цель попало не менее двух выстрелов.

m Решение. Рассмотрим два противоположных события:

— при 5000 выстрелах в цель попало не менее двух выстрелов;

— при 5000 выстрелах в цель попало менее двух выстрелов.

Найдем вероятность события :