Метод максимального правдоподобия



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Метод максимального правдоподобия



 

Метод максимального правдоподобия является наиболее распространенным методом нахождения оценок. Метод максимального правдоподобия опирается на использование условий экстремума функций одной или нескольких случайных величин. В качестве такой функции используется функция правдоподобия.

Определение. Функцией правдоподобияназывается функция

(8.3.1)

в дискретном случае и

(8.3.2)

в непрерывном случае.

В функции правдоподобия элементы выборки являются фиксированными параметрами, а — аргументом.

Определение. Оценкой максимального правдоподобияназывается такое , для которого

. (8.3.3)

Поскольку и принимают максимум при одном и том же значении аргумента , то при практической реализации метода максимального правдоподобия удобно использовать не саму функцию правдоподобия, а ее логарифм.

Определение. Уравнением правдоподобияназывается уравнение

. (8.3.4)

В случае, когда теоретическая функция распределения зависит от нескольких параметров , при применении метода максимального правдоподобия вместо уравнения (8.3.4) необходимо использовать систему уравнений

(8.3.5)

Пример 4. Найти оценки параметров (математическое ожидание) и (дисперсия) нормального закона распределения.

m Решение. Нормальный закон распределения характеризуется плотностью распределения

.

Функция правдоподобия примет вид:

(8.3.6)

Логарифмируя выражение (8.3.6), получим

. (8.3.7)

Подставляя (8.3.7) в систему (8.3.5), получим

(8.3.8)

Из первого уравнения системы (8.3.8) получаем

, (8.3.9)

а из второго уравнения системы (8.3.8), с учетом (8.3.9), получаем

.

Следует отметить, что полученная оценка является смещенной.

Читателю предлагается самостоятельно показать, что и доставляют максимум функции правдоподобия . l

 

Интервальные оценки (доверительные интервалы)

 

Статистическая оценка некоторого параметра распределения наблюдаемой случайной величины , будучи функцией случайной выборки (статистикой), сама является случайной величиной, имеющей свой закон распределения и числовые характеристики (параметры) распределения. При малом числе наблюдений могут возникнуть следующие задачи:

§ к каким ошибкам может привести замена параметра его точечной оценкой ;

§ с какой степенью надежности можно ожидать, что получаемые ошибки не выйдут за известные пределы.

Определение. Интервальной оценкой (доверительным интервалом)называется числовой интервал , определяемый по результатам выборки, относительно которого можно утверждать с определенной, близкой к единице, вероятности, что он заключает в себе значение оцениваемого параметра генеральной совокупности, т.е.

, (8.4.1)

где и — нижняя и верхняя (левая и правая) границы доверительного интервала параметра , доверительная вероятность.

Доверительная вероятность и уровень значимости связаны соотношением

.(8.4.2)

По заданной оценке и заданной доверительной вероятности доверительные интервалы можно построить различными способами. На практике обычно используются два типа доверительных интервалов:

§ двусторонние;

§ односторонние.

Ограничимся нахождением двусторонних доверительных интервалов. Односторонние доверительные интервалы находятся аналогично.

Для каждой доверительной вероятности можно указать такое значение , что

. (8.4.3)

Определение. Величину , равную половине ширины доверительного интервала, называют точностью оценки.

Определение. Квантилем уровня некоторого распределения называется такое число , при котором значение соответствующей функции распределения равно , т.е.

. (8.4.4)

Теорема. Пусть плотность случайной величины симметрична относительно оси , и пусть . Тогда — квантиль уровня распределения случайной величины .

Доказательство.

,

т.к. ввиду симметричности закона распределения относительно оси выполнено равенство . Отсюда следует, что

и . n

 

Рассмотрим теперь правила построения доверительных интервалов для некоторых параметров распределения.



Последнее изменение этой страницы: 2016-08-14; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.236.187.155 (0.007 с.)