Математическое ожидание случайной величины

 

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется выражение, вычисляемое по формуле:

, (6.1.1)

где — значения случайной величины, — соответствующие им вероятности, которые определяются равенством .

Для существования математического ожидания необходимо, чтобы ряд (6.1.1) сходился абсолютно, т.е.

, (6.1.2)

в противном случае говорят, что математическое ожидание не существует.

Пример 1. Пусть — случайная величина, равная числу выпавших очков при бросании игрального кубика. Найти математическое ожидание случайной величины .

m Решение. Случайная величина имеет следующий ряд распределения:

 

Применяя формулу (6.1.1), получим

.

Таким образом, математическое ожидание числа выпавших очков при бросании игрального кубика равно . l

 

Пример 2. Найти математическое ожидание случайной величины — число успехов в схеме Бернулли.

m Решение. Как известно, распределение случайной величины задается формулой

где — вероятность «успеха», , — количество испытаний в схеме Бернулли.

Используя формулу (6.1.1), получим

Таким образом, математическое ожидание числа успехов в схеме Бернулли равно . l

 

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется интеграл:

. (6.1.3)

Условием существования математического ожидания непрерывной случайной величины является абсолютная сходимость интеграла

. (6.1.4)

 

Пример 3. Найти математическое ожидание случайной величины , плотность которой имеет вид:

m Решение: Используя (6.1.3), получим

. l

Пример 4. Найти математическое ожидание случайной величины , плотность которой имеет вид:

.

m Решение. Используя (6.1.3), получим

. (6.1.5)

Делаем замену или . В этом случае (6.1.5) примет вид:

(6.1.6)

Первое слагаемое равно нулю, т.к. равен нулю интеграл

.

Интеграл во втором слагаемом равен 1, т.к. этот интеграл равен функции распределения нормального закона с параметрами при значении аргумента равным , т.е.

.

Таким образом, математическое ожидание равно . l

 

Пример 5. Случайная величина имеет плотность Коши:

. (6.1.7)

Проверить, имеет ли случайная величина математическое ожидание.

m Решение. Проверим условие (6.1.4) существования математического ожидания

.

Математическое ожидание случайной величины , имеющей плотность Коши, не существует, т.к. условие существования математического ожидания не выполнено. l

 

Математическое ожидание функции от случайной величины. Свойства математического ожидания

 

Пусть — функция от случайной величины. Определим математическое ожидание . Это возможно сделать двумя способами. Первый способ состоит в том, что сначала строится распределение случайной величины , затем уже находим . Мы рассмотрим другой способ. Пусть сначала — дискретная случайная величина, принимающая значения . Тогда случайная величина принимает значения с теми же вероятностями . В этом случае математическое ожидание определяется по формуле

. (6.2.1)

 

В случае, если случайная величина принимает счетное число значений, то математическое ожидание случайной величины определяется по формуле

. (6.2.2)

При этом условие существования математического ожидания (6.1.4) примет вид:

. (6.2.3)

 

Пример 6. Случайная величина имеет ряд распределения:

 

	0,7	0,1	0,2

Найти математическое ожидание математической величины: .

m Решение. Для решения задачи применим формулу (6.2.1).

Таким образом, математическое ожидание математической величины равно 28,2. l

 

Пусть — непрерывная случайная величина, имеющая плотность распределения . Пусть функция непрерывная (за исключением, быть может, счетного числа точек). Тогда математическое ожидание случайной величины определяется по формуле

. (6.2.4)

Условие существования математического ожидания случайной величины имеет вид:

. (6.2.5)

 

Пример 7. Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами , т.е. ее плотность имеет вид:

.

Найти математическое ожидание случайной величины .

m Решение. Используя формулу (6.2.4), получаем:

. l

 

Пример 8. Случайная величина распределена равномерно в интервале , т.е.

Найти математическое ожидание случайной величины .

m Решение. Используя формулу (6.2.4.), получаем:

. l