Доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение при известном математическом ожидании.

Предположим, что выборка произведена из нормальной генеральной совокупности с неизвестной дисперсией при известном математическом ожидании, равном . В качестве оценки неизвестной дисперсии возьмем выборочную дисперсию

. (8.4.11)

В этом случае статистика будет иметь –распределение с степенями свободы.

Доверительный интервал для дисперсии при известном математическом ожидании имеет вид:

, (8.4.12)

где — квантиль уровня –распределения с степенями свободы.

Таким образом, доверительный интервал для дисперсии при известном математическом ожидании строится следующим образом:

1. Используя выборку , по формуле (8.4.11) вычисляем оценку дисперсии.

2. Вычисляем квантили и –распределения с степенями свободы.

3. По формуле (8.4.12) получаем искомый доверительный интервал.

 

Замечание. Квантили и –распределения с степенями свободы можно определить разными способами, например:

§ используя таблицы –распределения с степенями свободы;

§ используя функцию ХИ2ОБР (вероятность;степени_свободы) из EXCEL, при этом аргумент «вероятность» данной функции должен быть равен уровню значимости, а аргумент «степени_свободы» должен быть равен ;

§ используя функцию qchisq(p, d) из MATHCAD, при этом переменные данной функции должны быть равны: .

 

Аналогично строится доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение при неизвестном математическом ожидании.

В качестве оценки неизвестной дисперсии возьмем выборочную дисперсию

. (8.4.13)

В этом случае статистика будет иметь –распределение с степенью свободы.

Доверительный интервал для дисперсии при неизвестном математическом ожидании имеет вид:

, (8.4.14)

где — квантиль уровня –распределения с степенью свободы.

Таким образом, доверительный интервал для дисперсии при неизвестном математическом ожидании строится следующим образом:

1. Вычисляем оценку , которая является средним арифметическим элементов выборки , и по формуле (8.4.13) вычисляем выборочную оценку дисперсии.

2. Вычисляем квантили и –распределения с степенью свободы.

3. По формуле (8.4.14) получаем искомый доверительный интервал.

 

Пример 5. Найти доверительный интервал с доверительной вероятностью 0,95 для оценки математического ожидания, нормально распределенной случайной величины , если известны ее дисперсия , выборочная средняя и объем выборки .

m Решение. По условию задачи . Найдем квантиль нормального распределения с параметрами , используя, например EXCEL: применяя функцию НОРМСТОБР(0,975), получим .

Применив (8.4.6), получим

l

 

Пример 6. Случайная величина распределена по нормальному закону. Статистический ряд выборки представлен таблицей:

Требуется:

1) построить доверительный интервал для оценки математического ожидания, если доверительная вероятность равна 0,97;

2) построить доверительный интервал для оценки дисперсии, если доверительная вероятность равна 0,95.

m Решение. Для оценки математического ожидания будем использовать формулу (8.4.9), т.к. дисперсия неизвестна. Вычислим все величины, присутствующие в (8.4.9).

Объем выборки .

Оценка математического ожидания:

.

Исправленная выборочная дисперсия:

.

Корень квадратный исправленной выборочной дисперсии:

Для доверительной вероятности найдем квантиль ‑распределения) с числом степеней свободы. Для этого используем, например, функцию qt(p, d) из MATHCAD: .

Доверительный интервал имеет вид:

и окончательно

.

Перейдем ко второй части задачи. Для оценки дисперсии будем использовать формулу (8.4.14), т.к. математическое ожидание неизвестно. Для данной формулы необходимо вычислить квантили и . Используя функцию qchisq(p, d) из MATHCAD, получим: и .

Доверительный интервал имеет вид:

и окончательно

. l

Глава 9. Проверка статистических гипотез

 

Основные понятия

 

Определение. Статистической гипотезой называется любое предположение (гипотеза) о виде закона распределения генеральной совокупности или о числовых значениях параметров закона распределения.

Определение. Правило, по которому гипотеза принимается или отвергается, называется статистическим критерием.

Проверяемую гипотезу называют нулевой, а противоположную ей гипотезу называют альтернативной.

Схема проверки нулевой гипотезы:

1. Используя проверочные данные и учитывая условия задачи, принимают нулевую гипотезу и альтернативную гипотезу .

2. По случайной выборке определяется функция , называемая статистикой, для которой будет известен точный или приближённый закон распределения.

3. По заранее выбранной малой вероятности определяется критическая область , для которой . И если величина , вычисляется при конкретной выборке , окажется вне критической области , то гипотеза принимается, а если она окажется в области , то гипотеза отвергается (или принимается гипотеза ). При этом возможны 4 случая, которые представлены в таблице 9.1

 

Таблица 9.1

	Принимается	Отвергается
Верна гипотеза	Правильное решение	Ошибка первого рода
вероятность
Верна	Ошибка второго рода	Правильное решение
вероятность

 

Определение. Вероятность допустить ошибку первого рода называется уровнем значимости критерия.

Определение. Вероятность не допустить ошибку второго рода называется мощностью критерия.

Если использовать терминологию качества продукции, то — это «риск поставщика», связанный с забраковкой по результату выборки всей партии товара, соответствующей стандарту, а — «риск потребителя», связанный с принятием по результатам выборки партии товара, не соответствующей стандарту.

Возможны три варианта расположения критической области:

1. Правосторонняя критическая область (рис 9.1), состоящая из интервала , где определяется из условия:
. (9.1.1)

2. Левосторонняя критическая область (рис 9.2), состоящая из интервала , где определяется из условия:
. (9.1.2)

3. Двусторонняя критическая область (рис 9.3), состоящая из интервалов и , где точки и определяется из условий:
и . (9.1.3)

 

 

В следующих параграфах рассмотрим несколько конкретных практических примеров.